Номер 1035, страница 232 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1035. Квадратная рамка, изготовленная из проволоки, площадь поперечного сечения которой $S = 1 \, \text{мм}^2$, присоединена к источнику постоянного напряжения $U = 0,6 \, \text{В}$ и помещена в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 0,1 \, \text{Тл}$. Определите модуль силы Ампера, действующей на рамку. Удельное сопротивление вещества проволоки $\rho = 2,0 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$. Провода, подводящие ток к рамке, подключены к ее соседним вершинам. Рамка расположена в вертикальной плоскости. Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки.

Дано:

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$U = 0,6 \text{ В}$

$B = 0,1 \text{ Тл}$

$\rho = 2,0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$F_A$

Решение:

Пусть сторона квадратной рамки равна $a$. Рамка изготовлена из проволоки с удельным сопротивлением $\rho$ и площадью поперечного сечения $S$.

Сопротивление одной стороны рамки можно вычислить по формуле: $R_1 = \rho \frac{a}{S}$.

Провода, подводящие ток, подключены к соседним вершинам рамки. Это означает, что электрическая цепь разветвляется на две параллельные ветви.

Первая ветвь — это одна сторона рамки, соединяющая точки подключения. Её сопротивление $R_{\text{I}} = R_1 = \rho \frac{a}{S}$.

Вторая ветвь состоит из трёх остальных сторон рамки. Её общая длина $3a$, а сопротивление $R_{\text{II}} = 3R_1 = 3\rho \frac{a}{S}$.

Напряжение на обеих параллельных ветвях одинаково и равно $U$.

Сила тока в первой ветви (короткой): $I_1 = \frac{U}{R_{\text{I}}} = \frac{U}{R_1}$.

Сила тока во второй ветви (длинной): $I_2 = \frac{U}{R_{\text{II}}} = \frac{U}{3R_1}$.

Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле, определяется формулой $F_A = I L B \sin\alpha$. В условии сказано, что линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки, следовательно, они перпендикулярны току в каждой из её сторон. Таким образом, угол $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$. Формула упрощается до $F_A = I L B$.

Результирующая сила Ампера, действующая на всю рамку, равна векторной сумме сил, действующих на каждую из её сторон. Для проводника произвольной формы, помещенного в однородное магнитное поле, результирующая сила Ампера равна силе, действующей на прямой проводник, соединяющий точки входа и выхода тока, по которому течёт полный ток.

В данном случае, эффективная длина проводника равна стороне квадрата $a$, а полный ток, протекающий через рамку, равен сумме токов в ветвях: $I_{\text{общ}} = I_1 + I_2$.

$I_{\text{общ}} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{3R_1} = \frac{3U + U}{3R_1} = \frac{4U}{3R_1}$.

Тогда модуль результирующей силы Ампера равен:

$F_A = I_{\text{общ}} \cdot a \cdot B = \left(\frac{4U}{3R_1}\right) a B$.

Подставим выражение для $R_1 = \rho \frac{a}{S}$:

$F_A = \frac{4U}{3(\rho a / S)} a B = \frac{4U S a B}{3 \rho a}$.

Длина стороны $a$ сокращается, и мы получаем окончательную формулу для расчёта:

$F_A = \frac{4USB}{3\rho}$.

Подставим числовые значения:

$F_A = \frac{4 \cdot 0,6 \text{ В} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 0,1 \text{ Тл}}{3 \cdot 2,0 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{0,24 \cdot 10^{-6}}{6,0 \cdot 10^{-8}} \text{ Н} = 0,04 \cdot 10^2 \text{ Н} = 4 \text{ Н}$.

Ответ: $4 \text{ Н}$.