Номер 1038, страница 233 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1038. Проволока, площадь поперечного сечения которой $S$, согнута в виде трех сторон квадрата и прикреплена своими концами к горизонтальной оси, вокруг которой она может свободно вращаться в однородном вертикальном магнитном поле. Плотность вещества проволоки $\rho$. Модуль индукции магнитного поля $B$. По проволоке пропускают ток силой $I$. Определите угол между вертикалью и плоскостью, в которой расположена проволока.

Дано:

Площадь поперечного сечения проволоки: $S$

Плотность вещества проволоки: $\rho$

Модуль индукции магнитного поля: $B$

Сила тока: $I$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Угол между вертикалью и плоскостью проволоки: $\alpha$

Решение:

Проволока, согнутая в виде трех сторон квадрата, будет находиться в положении равновесия, когда вращающий момент, создаваемый силой тяжести ($M_g$), будет уравновешен вращающим моментом, создаваемым силой Ампера ($M_B$) со стороны магнитного поля. Оба момента рассчитываются относительно горизонтальной оси вращения.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостью проволоки и вертикалью.

Найдем вращающий момент силы тяжести. Сила тяжести $F_g = mg$ приложена к центру масс (ЦМ) проволоки. Общая масса проволоки $m = \rho V = \rho (3aS)$. Центр масс П-образной фигуры из трех одинаковых стержней находится на расстоянии $y_{цм} = \frac{2}{3}a$ от оси вращения (вдоль перпендикуляра к оси в плоскости фигуры). Когда плоскость проволоки отклонена на угол $\alpha$ от вертикали, плечо силы тяжести относительно оси вращения равно $d_g = y_{цм} \sin\alpha = \frac{2}{3}a \sin\alpha$. Тогда момент силы тяжести, стремящийся вернуть рамку в вертикальное положение, равен:

$M_g = F_g d_g = (3\rho S a g) \left(\frac{2}{3}a \sin\alpha\right) = 2\rho S a^2 g \sin\alpha$

Теперь найдем вращающий момент силы Ампера. Магнитное поле $B$ вертикально, а ось вращения горизонтальна. Силы Ампера, действующие на боковые стороны проволоки, направлены вдоль оси вращения и, следовательно, не создают вращающего момента относительно этой оси. Вращающий момент создается только силой Ампера, действующей на нижнюю, горизонтальную сторону проволоки. Эта сила равна $F_A = I a B$ и направлена горизонтально (перпендикулярно как току, так и полю). Плечо этой силы относительно оси вращения равно $d_A = a \cos\alpha$. Тогда момент силы Ампера, стремящийся повернуть рамку в горизонтальное положение, равен:

$M_B = F_A d_A = (I a B)(a \cos\alpha) = I a^2 B \cos\alpha$

В положении равновесия моменты сил уравновешивают друг друга: $M_g = M_B$.

$2\rho S a^2 g \sin\alpha = I a^2 B \cos\alpha$

Сократив на $a^2$, получаем: $2\rho S g \sin\alpha = I B \cos\alpha$.

Отсюда находим тангенс угла $\alpha$:

$\tan\alpha = \frac{IB}{2\rho S g}$

Следовательно, искомый угол равен:

$\alpha = \arctan{\left(\frac{IB}{2\rho S g}\right)}$

Ответ: $\alpha = \arctan{\left(\frac{IB}{2\rho S g}\right)}$