Номер 1034, страница 232 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1034. На наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^{\circ}$ с горизонтом, находится прямой однородный проводник длиной $l = 40$ см и массой $m = 0,20$ кг. Проводник расположен горизонтально и перпендикулярно однородному горизонтальному магнитному полю, модуль индукции которого $B = 0,40$ Тл (рис. 239). Определите модуль минимальной силы, которую надо приложить к проводнику параллельно наклонной плоскости для удержания его в покое, если сила тока в проводнике $I = 10$ А. Коэффициент трения между проводником и плоскостью $\mu = 0,15$.

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$l = 40 \text{ см}$

$m = 0,20 \text{ кг}$

$B = 0,40 \text{ Тл}$

$I = 10 \text{ А}$

$\mu = 0,15$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$l = 40 \text{ см} = 0,40 \text{ м}$

Найти:

$F_{min}$

Решение:

На проводник, находящийся на наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости; сила Ампера $\vec{F_A}$; сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная параллельно плоскости. Для удержания проводника в покое может потребоваться приложить внешнюю силу $\vec{F}$.

Проводник расположен горизонтально, ток в нем направлен "от нас", а однородное магнитное поле $\vec{B}$ направлено горизонтально. Согласно правилу левой руки, сила Ампера $\vec{F_A}$, действующая на проводник, направлена вертикально вверх. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле:

$F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(90^\circ) = I \cdot B \cdot l$

Выберем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Для состояния покоя, согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил равна нулю. Запишем это условие в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $Oy$:

$N - mg \cos\alpha + F_A \cos\alpha = 0$

Из этого уравнения выразим модуль силы нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos\alpha - F_A \cos\alpha = (mg - F_A) \cos\alpha$

Чтобы определить, куда будет направлена сила трения и минимальная внешняя сила, найдем равнодействующую проекций силы тяжести и силы Ампера на ось $Ox$ (скатывающую силу):

$F_{ск} = mg \sin\alpha - F_A \sin\alpha = (mg - F_A) \sin\alpha$

Подставим числовые значения:

$mg = 0,20 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2,0 \text{ Н}$

$F_A = 10 \text{ А} \cdot 0,40 \text{ Тл} \cdot 0,40 \text{ м} = 1,6 \text{ Н}$

Тогда скатывающая сила равна:

$F_{ск} = (2,0 \text{ Н} - 1,6 \text{ Н}) \cdot \sin(30^\circ) = 0,4 \text{ Н} \cdot 0,5 = 0,2 \text{ Н}$

Поскольку $F_{ск} > 0$, проводник без трения и внешней силы будет соскальзывать вниз. Значит, сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$ направлена вверх по наклонной плоскости.

Найдем максимальную силу трения покоя $F_{тр.max} = \mu N$.

$N = (2,0 \text{ Н} - 1,6 \text{ Н}) \cdot \cos(30^\circ) = 0,4 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,2\sqrt{3} \text{ Н} \approx 0,346 \text{ Н}$

$F_{тр.max} = \mu \cdot N = 0,15 \cdot 0,2\sqrt{3} \text{ Н} = 0,03\sqrt{3} \text{ Н} \approx 0,052 \text{ Н}$

Сравнивая скатывающую силу $F_{ск} = 0,2 \text{ Н}$ и максимальную силу трения покоя $F_{тр.max} \approx 0,052 \text{ Н}$, видим, что $F_{ск} > F_{тр.max}$. Это означает, что одной лишь силы трения недостаточно для удержания проводника в равновесии. Поэтому необходимо приложить минимальную внешнюю силу $F_{min}$. Чтобы эта сила была минимальной, ее следует направить вверх по наклонной плоскости, помогая силе трения.

Условие равновесия в проекции на ось $Ox$ примет вид (сила трения при этом максимальна):

$mg \sin\alpha - F_A \sin\alpha - F_{тр.max} - F_{min} = 0$

Отсюда находим $F_{min}$:

$F_{min} = (mg - F_A) \sin\alpha - F_{тр.max}$

$F_{min} = F_{ск} - F_{тр.max} = 0,2 \text{ Н} - 0,03\sqrt{3} \text{ Н} \approx 0,2 - 0,052 = 0,148 \text{ Н}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $F_{min} \approx 0,15 \text{ Н}$.

Ответ:

Модуль минимальной силы, которую надо приложить к проводнику, равен приблизительно $0,15 \text{ Н}$.