Номер 1037, страница 233 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1037. Однородный стержень длиной $l = 40$ см и массой $m = 40$ г, по которому протекает ток $I = 10$ А, закреплен шарнирно одним концом так, что может вращаться без трения в вертикальной плоскости. Стержень находится в однородном магнитном поле. Определите угол отклонения стержня от вертикали, если линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости его вращения. Модуль индукции магнитного поля $B = 50$ мТл.

Дано:

Длина стержня $l = 40$ см

Масса стержня $m = 40$ г

Сила тока $I = 10$ А

Модуль индукции магнитного поля $B = 50$ мТл

Перевод в систему СИ:

$l = 0.4$ м

$m = 0.04$ кг

$B = 50 \cdot 10^{-3}$ Т $= 0.05$ Т

Найти:

Угол отклонения стержня от вертикали $\alpha$.

Решение:

Когда стержень отклоняется от вертикали на угол $\alpha$ и находится в равновесии, сумма моментов сил, действующих на него относительно точки подвеса (шарнира), равна нулю. На стержень действуют две силы, создающие вращающий момент: сила тяжести и сила Ампера.

1. Момент силы тяжести. Сила тяжести $F_g = mg$ приложена к центру масс однородного стержня, то есть на расстоянии $l/2$ от точки подвеса. Плечо этой силы относительно точки подвеса равно $d_g = \frac{l}{2}\sin\alpha$. Момент силы тяжести $\tau_g$ стремится вернуть стержень в вертикальное положение (является возвращающим).

$\tau_g = F_g \cdot d_g = mg \frac{l}{2}\sin\alpha$

2. Момент силы Ампера. Сила Ампера действует на каждый элемент стержня с током. Так как магнитное поле перпендикулярно плоскости вращения, оно перпендикулярно и самому стержню при любом его положении. Сила Ампера $dF_A$, действующая на элемент длины $dl'$ на расстоянии $l'$ от оси вращения, равна $dF_A = I B dl'$. Эта сила перпендикулярна стержню, поэтому ее плечо равно $l'$.

Элементарный момент силы Ампера равен $d\tau_A = l' dF_A = I B l' dl'$.

Полный момент силы Ампера $\tau_A$ найдем, проинтегрировав по всей длине стержня:

$\tau_A = \int_0^l I B l' dl' = I B \left[ \frac{(l')^2}{2} \right]_0^l = \frac{I B l^2}{2}$

Этот момент отклоняет стержень от вертикали.

3. Условие равновесия. В положении равновесия моменты сил уравновешивают друг друга:

$\tau_g = \tau_A$

$mg \frac{l}{2}\sin\alpha = \frac{I B l^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{l}{2}$:

$mg \sin\alpha = I B l$

Выразим отсюда $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{I B l}{mg}$

4. Вычисления. Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9.8$ м/с$^2$:

$\sin\alpha = \frac{10 \text{ А} \cdot 0.05 \text{ Т} \cdot 0.4 \text{ м}}{0.04 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{0.2}{0.392} \approx 0.5102$

Найдем угол $\alpha$:

$\alpha = \arcsin(0.5102) \approx 30.68^\circ$

Округляя результат с учетом точности исходных данных, получаем $\alpha \approx 31^\circ$.

Ответ: $\alpha \approx 31^\circ$.