Номер 1031, страница 231 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1031. Стержень массой $m = 0,10$ кг и длиной $l = 0,40$ м расположен перпендикулярно наклонным рельсам, составляющим угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом (рис. 237). Определите минимальный модуль индукции однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости рельсов, при котором стержень начнет двигаться по рельсам вверх, если по нему пропускать ток силой $I = 15$ А. Коэффициент трения стержня о рельсы $\mu = 0,40$.

Рис. 237

Дано:

$m = 0,10$ кг
$l = 0,40$ м
$α = 30°$
$I = 15$ А
$μ = 0,40$
$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$B_{min}$

Решение:

Для того чтобы стержень начал двигаться вверх по наклонной плоскости, действующая на него вверх сила Ампера $F_А$ должна быть как минимум равна сумме сил, препятствующих этому движению: скатывающей составляющей силы тяжести $F_{тяж.x}$ и максимальной силе трения покоя $F_{тр.max}$.

На стержень действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
3. Сила Ампера $F_А$, действующая на проводник с током в магнитном поле. Согласно правилу левой руки (ток направлен от нас, а вектор индукции $B$ перпендикулярен плоскости рельсов и направлен вверх от неё), сила Ампера направлена параллельно рельсам вверх. Ее модуль равен $F_А = IBl$, так как вектор магнитной индукции перпендикулярен проводнику с током.
4. Сила трения $F_{тр}$, направленная против возможного движения, то есть вдоль наклонной плоскости вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Проекция на ось $Oy$:

$N - mg \cos(α) = 0$

Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos(α)$

Условие начала движения вверх по наклонной плоскости (в проекции на ось $Ox$): сила Ампера должна уравновесить сумму скатывающей силы и максимальной силы трения покоя.

$F_А = F_{тяж.x} + F_{тр.max}$

Скатывающая сила равна $F_{тяж.x} = mg \sin(α)$, а максимальная сила трения покоя $F_{тр.max} = μN = μmg \cos(α)$.

Подставим выражения для сил в уравнение для оси $Ox$:

$I B_{min} l = mg \sin(α) + μmg \cos(α)$

Вынесем $mg$ за скобки:

$I B_{min} l = mg (\sin(α) + μ \cos(α))$

Отсюда выразим минимальное значение модуля индукции магнитного поля $B_{min}$:

$B_{min} = \frac{mg (\sin(α) + μ \cos(α))}{Il}$

Подставим числовые значения:

$\sin(30°) = 0,5$

$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$B_{min} = \frac{0,10 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с²}} (\sin(30°) + 0,40 \cdot \cos(30°))}{15 \text{ А} \cdot 0,40 \text{ м}}$

$B_{min} = \frac{1 \cdot (0,5 + 0,40 \cdot 0,866)}{6} = \frac{0,5 + 0,3464}{6} = \frac{0,8464}{6} \approx 0,141$ Тл.

Округляя до двух значащих цифр, получаем 0,14 Тл.

Ответ: минимальный модуль индукции однородного магнитного поля составляет примерно 0,14 Тл.