Номер 1032, страница 231 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1032. Стержень неподвижно лежит на рельсах перпендикулярно им. Рельсы составляют с горизонтом угол $\alpha$. Каким должен быть минимальный модуль индукции однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости рельсов, чтобы стержень начал двигаться по ним вниз, если по нему пропускать ток силой $I$? Длина стержня равна $l$. Коэффициент трения стержня о рельсы $\mu$. Масса стержня $m$.

Дано:

Масса стержня: $m$

Длина стержня: $l$

Угол наклона рельсов к горизонту: $\alpha$

Сила тока в стержне: $I$

Коэффициент трения: $\mu$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Минимальный модуль индукции магнитного поля: $B_{min}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на стержень, лежащий на наклонной плоскости. Выберем систему координат, в которой ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ – перпендикулярно ей вверх.

На стержень действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости рельсов вверх (вдоль оси $OY$).

3. Сила Ампера $\vec{F_A}$, действующая на стержень с током в магнитном поле.

4. Сила трения покоя $\vec{F_{тр}}$, направленная вдоль рельсов.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат для состояния равновесия (в момент начала движения ускорение еще равно нулю).

Проекция на ось $OY$:

$N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos(\alpha)$

Максимальная сила трения покоя (которая равна силе трения скольжения) определяется как:

$F_{тр.max} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$

Стержень должен начать двигаться вниз. Сила тяжести уже имеет составляющую, направленную вниз вдоль наклонной плоскости: $mg \sin(\alpha)$. Чтобы модуль индукции магнитного поля $B$ был минимальным, сила Ампера $\vec{F_A}$ должна помогать движению, то есть тоже быть направлена вниз вдоль наклонной плоскости (вдоль оси $OX$).

Магнитное поле перпендикулярно плоскости рельсов, а значит, и стержню с током. Поэтому модуль силы Ампера равен:

$F_A = I l B$

Сила трения $\vec{F_{тр}}$ препятствует началу движения, поэтому она будет направлена в противоположную сторону – вверх по наклонной плоскости (против оси $OX$).

Условие начала движения вниз по наклонной плоскости: суммарная сила, направленная вниз, должна быть равна максимальной силе трения покоя, направленной вверх.

Проекция на ось $OX$:

$mg \sin(\alpha) + F_A = F_{тр.max}$

Подставим выражения для сил:

$mg \sin(\alpha) + I l B = \mu mg \cos(\alpha)$

Выразим из этого уравнения искомую величину $B$:

$I l B = \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

$B = \frac{mg(\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha))}{I l}$

Это и будет минимальное значение модуля индукции, необходимое для начала движения. Условие, что стержень изначально покоится, означает, что $mg \sin(\alpha) \le \mu mg \cos(\alpha)$, поэтому выражение в скобках неотрицательно.

Ответ: $B = \frac{mg(\mu \cos(\alpha) - \sin(\alpha))}{I l}$