Номер 1022, страница 228 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1022. В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,20$ Тл, на двух одинаковых невесомых пружинах жесткостью $k = 20 \frac{Н}{м}$ подвешен в горизонтальном положении стержень длиной $l = 50$ см. Линии индукции горизонтальны и перпендикулярны стержню. При отсутствии тока в стержне потенциальная энергия каждой пружины $E_{п1} = 25$ мДж. Определите потенциальную энергию каждой пружины, если в стержне будет протекать электрический ток $I = 16$ А (рис. 234).

Дано:
Модуль индукции магнитного поля $B = 0,20$ Тл
Жесткость пружины $k = 20$ Н/м
Длина стержня $l = 50$ см
Начальная потенциальная энергия каждой пружины $E_{\text{п1}} = 25$ мДж
Сила тока $I = 16$ А

$l = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$
$E_{\text{п1}} = 25 \text{ мДж} = 25 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,025 \text{ Дж}$

Найти:
Конечную потенциальную энергию каждой пружины $E_{\text{п2}}$

Решение:

1. В начальном состоянии, когда ток в стержне отсутствует, стержень находится в равновесии. На него действует сила тяжести $mg$, направленная вниз, и две силы упругости $F_{\text{упр1}}$ со стороны пружин, направленные вверх. Условие равновесия для стержня:

$mg = 2F_{\text{упр1}}$

Потенциальная энергия пружины связана с силой упругости соотношением $E_{\text{п}} = \frac{F_{\text{упр}}^2}{2k}$. Используя эту формулу, найдем начальную силу упругости, действующую на каждую пружину:

$F_{\text{упр1}} = \sqrt{2k E_{\text{п1}}} = \sqrt{2 \cdot 20 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 0,025 \text{ Дж}} = \sqrt{1} \text{ Н} = 1 \text{ Н}$

2. Когда по стержню начинает протекать электрический ток $I$, на него со стороны магнитного поля действует сила Ампера $F_A$. Направление этой силы определяется по правилу левой руки. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рисунка на нас, а ток $I$ течет вправо. Согласно правилу левой руки, сила Ампера $\vec{F_A}$ направлена вертикально вниз.

Модуль силы Ампера рассчитывается по формуле $F_A = B I l \sin\alpha$. Поскольку вектор индукции перпендикулярен стержню, угол $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$.

$F_A = 0,20 \text{ Тл} \cdot 16 \text{ А} \cdot 0,5 \text{ м} = 1,6 \text{ Н}$

3. Под действием силы Ампера стержень сместится вниз и займет новое положение равновесия. В этом положении сила тяжести и сила Ампера, направленные вниз, будут уравновешены новой, большей силой упругости со стороны двух пружин $2F_{\text{упр2}}$:

$mg + F_A = 2F_{\text{упр2}}$

Используя условие равновесия из первого пункта ($mg = 2F_{\text{упр1}}$), подставим его в новое уравнение:

$2F_{\text{упр1}} + F_A = 2F_{\text{упр2}}$

Отсюда найдем новую силу упругости, действующую на каждую пружину:

$F_{\text{упр2}} = F_{\text{упр1}} + \frac{F_A}{2} = 1 \text{ Н} + \frac{1,6 \text{ Н}}{2} = 1 \text{ Н} + 0,8 \text{ Н} = 1,8 \text{ Н}$

4. Теперь мы можем рассчитать конечную потенциальную энергию каждой пружины $E_{\text{п2}}$:

$E_{\text{п2}} = \frac{F_{\text{упр2}}^2}{2k} = \frac{(1,8 \text{ Н})^2}{2 \cdot 20 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{3,24}{40} \text{ Дж} = 0,081 \text{ Дж}$

Переведем полученное значение в миллиджоули: $0,081 \text{ Дж} = 81 \text{ мДж}$.

Ответ: $E_{\text{п2}} = 81$ мДж.