Номер 1018, страница 227 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1018. Прямолинейный горизонтально расположенный проводник, по которому проходит электрический ток, подвешен на двух вертикальных легких нитях в вертикальном однородном магнитном поле. Нити отклонены от вертикали на угол $\alpha = 30^\circ$. Во сколько раз необходимо увеличить силу тока, протекающего в проводнике, чтобы нити отклонились от вертикали на угол $\beta = 60^\circ$?

Дано:

Начальный угол отклонения нитей, $ \alpha = 30^\circ $
Конечный угол отклонения нитей, $ \beta = 60^\circ $

Найти:

Отношение конечной силы тока к начальной, $ \frac{I_2}{I_1} $

Решение:

На проводник, подвешенный на нитях, действуют три силы: сила тяжести $ m\vec{g} $, направленная вертикально вниз; сила Ампера $ \vec{F_A} $, действующая со стороны магнитного поля; и сила натяжения двух нитей $ 2\vec{T} $.

Так как проводник расположен горизонтально, а магнитное поле вертикально, то сила Ампера, согласно правилу левой руки, будет направлена горизонтально. Величина силы Ампера равна $ F_A = I L B \sin(90^\circ) = I L B $, где $ I $ - сила тока, $ L $ - длина проводника, $ B $ - индукция магнитного поля.

Проводник находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю: $ m\vec{g} + \vec{F_A} + 2\vec{T} = 0 $.

Рассмотрим первый случай, когда нити отклонены на угол $ \alpha = 30^\circ $. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси:

Ось Y: $ 2T_1 \cos(\alpha) - mg = 0 \implies 2T_1 \cos(\alpha) = mg $
Ось X: $ F_{A1} - 2T_1 \sin(\alpha) = 0 \implies F_{A1} = 2T_1 \sin(\alpha) $

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить силу натяжения $ T_1 $:

$ \frac{F_{A1}}{mg} = \frac{2T_1 \sin(\alpha)}{2T_1 \cos(\alpha)} = \tan(\alpha) $

Отсюда $ F_{A1} = mg \tan(\alpha) $. Подставляя выражение для силы Ампера, получаем: $ I_1 L B = mg \tan(\alpha) $.

Теперь рассмотрим второй случай, когда нити отклонены на угол $ \beta = 60^\circ $. Аналогично, условие равновесия для силы Ампера $ F_{A2} $ будет:

$ F_{A2} = mg \tan(\beta) $. Подставляя выражение для силы Ампера, получаем: $ I_2 L B = mg \tan(\beta) $.

Чтобы найти, во сколько раз необходимо увеличить силу тока, найдем отношение $ \frac{I_2}{I_1} $. Для этого разделим второе полученное уравнение на первое:

$ \frac{I_2 L B}{I_1 L B} = \frac{mg \tan(\beta)}{mg \tan(\alpha)} $

Сокращая общие множители ($ L, B, m, g $), получаем:

$ \frac{I_2}{I_1} = \frac{\tan(\beta)}{\tan(\alpha)} $

Подставим числовые значения углов:

$ \frac{I_2}{I_1} = \frac{\tan(60^\circ)}{\tan(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^2 = 3 $

Таким образом, силу тока необходимо увеличить в 3 раза.

Ответ: силу тока необходимо увеличить в 3 раза.