Номер 1017, страница 227 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1017. Прямолинейный проводник массой $m = 30$ г и длиной $l = 50$ см подвешен на двух вертикальных легких нитях в горизонтальном положении в вертикальном однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,1$ Тл. Определите силу тока в проводнике, если нити отклонились от вертикали на угол $\alpha = 45^\circ$.

Дано:

$m = 30 \text{ г}$

$l = 50 \text{ см}$

$B = 0,1 \text{ Тл}$

$\alpha = 45^\circ$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,03 \text{ кг}$

$l = 0,5 \text{ м}$

Найти:

$I$

Решение:

На проводник, находящийся в равновесии, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, сила Ампера $\vec{F_A}$, действующая на проводник с током в магнитном поле, и суммарная сила натяжения двух нитей $\vec{T}$, направленная вдоль нитей.

Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:

$\vec{F_g} + \vec{F_A} + \vec{T} = 0$

Проводник расположен горизонтально, а магнитное поле, по условию, вертикально. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки. Сила Ампера будет направлена горизонтально, перпендикулярно проводнику и вектору магнитной индукции. Именно эта сила отклоняет нити на угол $\alpha$ от вертикали.

Для решения задачи спроецируем силы на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX — горизонтально в сторону действия силы Ампера.

Запишем условия равновесия в проекциях на оси:

На ось OY: $T_y - F_g = 0$. Компонента силы натяжения $T_y = T \cos\alpha$, а сила тяжести $F_g = mg$. Получаем:

$T \cos\alpha = mg \quad (1)$

На ось OX: $F_A - T_x = 0$. Компонента силы натяжения $T_x = T \sin\alpha$. Получаем:

$F_A = T \sin\alpha \quad (2)$

Сила Ампера вычисляется по формуле $F_A = I B l \sin\beta$, где $\beta$ — угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции. В нашем случае проводник горизонтален, а поле вертикально, поэтому угол $\beta = 90^\circ$, и $\sin\beta = 1$. Таким образом, формула для силы Ампера упрощается:

$F_A = I B l$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$I B l = T \sin\alpha \quad (3)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($T$ и $I$):

$\begin{cases} T \cos\alpha = mg \\ T \sin\alpha = I B l \end{cases}$

Чтобы найти силу тока $I$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{I B l}{mg}$

После сокращения $T$ получаем:

$\tan\alpha = \frac{I B l}{mg}$

Из этого уравнения выражаем искомую силу тока $I$:

$I = \frac{mg \tan\alpha}{B l}$

Подставим числовые значения из условия, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$I = \frac{0,03 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot \tan(45^\circ)}{0,1 \text{ Тл} \cdot 0,5 \text{ м}}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то:

$I = \frac{0,03 \cdot 10}{0,05} = \frac{0,3}{0,05} = \frac{30}{5} = 6 \text{ А}$

Ответ: $6$ А.