Номер 1020, страница 228 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1020. Однородный горизонтальный алюминиевый стержень длиной $l$ и диаметром $d$ подвешен на двух легких гибких вертикальных проволоках в однородном магнитном поле, вектор индукции которого $\vec{B}$ направлен вертикально (рис. 232). На какой угол от вертикали отклонятся проволоки, если, замкнув ключ $K$, в стержне будет протекать электрический ток, созданный источником тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$? Плотность алюминия $\rho_0$, его удельное сопротивление $\rho$. Сопротивлением проволок пренебречь.

Рис. 232

Дано

Длина стержня: $l$

Диаметр стержня: $d$

Индукция магнитного поля: $B$

ЭДС источника тока: $\mathcal{E}$

Внутреннее сопротивление источника: $r$

Плотность алюминия: $\rho_0$

Удельное сопротивление алюминия: $\rho$

Найти:

Угол отклонения проволок от вертикали: $\alpha$

Решение

После замыкания ключа $K$ в цепи потечет ток. На алюминиевый стержень, находящийся в магнитном поле, начнет действовать сила Ампера $\vec{F}_A$. Эта сила вызовет отклонение стержня на некоторый угол $\alpha$ от вертикали. Стержень будет находиться в равновесии, когда векторная сумма всех действующих на него сил будет равна нулю. На стержень действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила Ампера $\vec{F}_A$, действующая на стержень с током в магнитном поле.

3. Сила натяжения проволок $\vec{T}$ (общая для двух проволок), направленная вдоль проволок под углом $\alpha$ к вертикали.

Направление силы Ампера определим по правилу левой руки. Ток в стержне направлен перпендикулярно вектору магнитной индукции $\vec{B}$ (который направлен вертикально вверх). Следовательно, сила Ампера будет направлена горизонтально. Ее модуль равен:

$F_A = I l B \sin(90^\circ) = I l B$

Силу тока $I$ в цепи найдем по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

где $R$ - сопротивление алюминиевого стержня. Сопротивление стержня можно рассчитать по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $S$ - площадь поперечного сечения стержня. Так как стержень имеет диаметр $d$, его площадь сечения равна:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим $S$ в формулу для сопротивления:

$R = \rho \frac{l}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4\rho l}{\pi d^2}$

Теперь найдем силу тока:

$I = \frac{\mathcal{E}}{\frac{4\rho l}{\pi d^2} + r}$

И модуль силы Ампера:

$F_A = \frac{\mathcal{E} l B}{\frac{4\rho l}{\pi d^2} + r}$

Массу стержня $m$ найдем через его плотность $\rho_0$ и объем $V$:

$m = \rho_0 V = \rho_0 S l = \rho_0 \frac{\pi d^2 l}{4}$

Тогда сила тяжести равна:

$F_g = mg = \frac{\rho_0 \pi d^2 l g}{4}$

В положении равновесия сумма сил равна нулю. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Ось X (горизонтальная): $F_A - T \sin\alpha = 0 \implies F_A = T \sin\alpha$

Ось Y (вертикальная): $T \cos\alpha - F_g = 0 \implies F_g = T \cos\alpha$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить силу натяжения $T$:

$\frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{F_A}{F_g} \implies \tan\alpha = \frac{F_A}{F_g}$

Подставим выражения для $F_A$ и $F_g$:

$\tan\alpha = \frac{\frac{\mathcal{E} l B}{\frac{4\rho l}{\pi d^2} + r}}{\frac{\rho_0 \pi d^2 l g}{4}} = \frac{\mathcal{E} l B}{\frac{4\rho l + r \pi d^2}{\pi d^2}} \cdot \frac{4}{\rho_0 \pi d^2 l g}$

$\tan\alpha = \frac{\mathcal{E} l B \pi d^2}{4\rho l + r \pi d^2} \cdot \frac{4}{\rho_0 \pi d^2 l g}$

Сократим $l$ и $\pi d^2$:

$\tan\alpha = \frac{4 \mathcal{E} B}{(4\rho l + r \pi d^2)\rho_0 g}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4 \mathcal{E} B}{\rho_0 g (4\rho l + \pi r d^2)}\right)$

Ответ: $\alpha = \arctan\left(\frac{4 \mathcal{E} B}{\rho_0 g (4\rho l + \pi r d^2)}\right)$