Номер 1021, страница 228 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1021. В однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,10 \text{ Тл}$, на двух одинаковых невесомых пружинах жесткостью $k=15 \frac{\text{Н}}{\text{М}}$ подвешен в горизонтальном положении прямой однородный проводник длиной $l=60 \text{ см}$.

Линии индукции горизонтальны и перпендикулярны проводнику.

При отсутствии тока в проводнике длина каждой пружины составляла $l_1 = 34 \text{ см}$.

Определите длину каждой пружины при прохождении по проводнику тока $I = 15 \text{ А}$ (рис. 233).

Рис. 233

Дано:

Модуль индукции магнитного поля: $B = 0,10$ Тл
Жесткость каждой пружины: $k = 15$ Н/м
Длина проводника: $l = 60$ см
Длина каждой пружины без тока: $l_1 = 34$ см
Сила тока: $I = 15$ А

$l = 60 \text{ см} = 0,60 \text{ м}$
$l_1 = 34 \text{ см} = 0,34 \text{ м}$

Найти:

Длину каждой пружины при прохождении тока: $l_2$

Решение:

Рассмотрим систему в двух состояниях: до и после включения тока.

1. В начальном состоянии (без тока) проводник висит на двух пружинах и находится в равновесии. На него действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и суммарная сила упругости двух пружин $2F_{упр1}$, направленная вертикально вверх.

Согласно первому закону Ньютона, условие равновесия проводника имеет вид:

$mg = 2F_{упр1}$

По закону Гука, сила упругости одной пружины $F_{упр1} = k \cdot \Delta l_1 = k(l_1 - l_0)$, где $l_0$ — длина пружины в недеформированном состоянии. Тогда:

$mg = 2k(l_1 - l_0)$ (1)

2. При прохождении по проводнику тока $I$ на него со стороны магнитного поля начинает действовать сила Ампера $F_A$. Ее направление определим по правилу левой руки. Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены по току (вправо), а вектор магнитной индукции $B$ (направлен от нас, в плоскость рисунка) входил в ладонь. Тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера — вертикально вниз.

Таким образом, сила Ампера $F_A$ сонаправлена с силой тяжести $mg$ и вызывает дополнительное растяжение пружин.

Величина силы Ампера вычисляется по формуле:

$F_A = BIl \sin\alpha$

По условию, линии индукции перпендикулярны проводнику, значит, угол $\alpha$ между направлением тока и вектором магнитной индукции равен $90^\circ$, а $\sin90^\circ = 1$. Следовательно:

$F_A = BIl$

В новом положении равновесия суммарная сила упругости пружин $2F_{упр2}$ уравновешивает сумму силы тяжести и силы Ампера. Если новая длина пружин равна $l_2$, то $F_{упр2} = k(l_2 - l_0)$. Условие равновесия:

$2F_{упр2} = mg + F_A$

$2k(l_2 - l_0) = mg + F_A$ (2)

3. Для нахождения $l_2$ решим систему уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $mg$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$2k(l_2 - l_0) = 2k(l_1 - l_0) + F_A$

Раскроем скобки:

$2kl_2 - 2kl_0 = 2kl_1 - 2kl_0 + F_A$

Сократим слагаемое $-2kl_0$:

$2kl_2 = 2kl_1 + F_A$

Выразим отсюда искомую длину $l_2$:

$l_2 = \frac{2kl_1 + F_A}{2k} = l_1 + \frac{F_A}{2k}$

Подставим выражение для силы Ампера $F_A = BIl$:

$l_2 = l_1 + \frac{BIl}{2k}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$l_2 = 0,34 \text{ м} + \frac{0,10 \text{ Тл} \cdot 15 \text{ А} \cdot 0,60 \text{ м}}{2 \cdot 15 \text{ Н/м}} = 0,34 \text{ м} + \frac{0,9 \text{ Н}}{30 \text{ Н/м}} = 0,34 \text{ м} + 0,03 \text{ м} = 0,37 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,37$ м $= 37$ см.

Ответ: длина каждой пружины при прохождении тока составит 37 см.