Номер 1093, страница 248 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1093. Проволочный квадратный контур находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого пронизывают плоскую поверхность, ограниченную контуром. Определите, во сколько раз увеличится магнитный поток, пронизывающий эту поверхность, если, не меняя плоскости расположения контура, преобразовать его в кольцо.

Дано:

Проволочный контур постоянной длины $L$.

Начальная форма контура — квадрат (индекс 1).

Конечная форма контура — кольцо (окружность, индекс 2).

Магнитное поле однородное: $B = \text{const}$.

Ориентация плоскости контура в поле не меняется: $\alpha = \text{const}$.

Найти:

Отношение конечного магнитного потока к начальному, $\frac{\Phi_2}{\Phi_1}$.

Решение:

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $S$, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $B$, определяется по формуле:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha$,

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали к плоскости контура.

Для начального состояния (квадратный контур) магнитный поток равен:

$\Phi_1 = B \cdot S_1 \cdot \cos\alpha$, где $S_1$ — площадь квадрата.

Для конечного состояния (контур в форме кольца) магнитный поток равен:

$\Phi_2 = B \cdot S_2 \cdot \cos\alpha$, где $S_2$ — площадь круга.

Чтобы найти, во сколько раз увеличится магнитный поток, найдем отношение $\frac{\Phi_2}{\Phi_1}$. Так как по условию задачи величины $B$ и $\alpha$ не изменяются, они сокращаются:

$\frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \frac{B \cdot S_2 \cdot \cos\alpha}{B \cdot S_1 \cdot \cos\alpha} = \frac{S_2}{S_1}$

Задача сводится к нахождению отношения площади круга к площади квадрата при условии, что их периметры равны (так как контур сделан из провода одной и той же длины $L$).

Пусть длина провода равна $L$.

Для квадрата со стороной $a$ периметр $P_1 = 4a$. Так как $P_1 = L$, то сторона квадрата $a = \frac{L}{4}$.

Тогда площадь квадрата:

$S_1 = a^2 = \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16}$

Для круга радиусом $r$ длина окружности $P_2 = 2\pi r$. Так как $P_2 = L$, то радиус круга $r = \frac{L}{2\pi}$.

Тогда площадь круга:

$S_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{L^2}{4\pi}$

Теперь найдем искомое отношение площадей (и потоков):

$\frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{L^2}{4\pi}}{\frac{L^2}{16}} = \frac{L^2}{4\pi} \cdot \frac{16}{L^2} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi}$

Ответ: магнитный поток увеличится в $\frac{4}{\pi}$ раз (приблизительно в 1,27 раза).