Номер 1205, страница 276 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1205. *Угольный стержень соединен последовательно с железным стержнем такого же поперечного сечения.

Определите отношение длин стержней, если их общее сопротивление не зависит от температуры. Температурный коэффициент сопротивления угля $\alpha_{\text{уг}} = -0,0008 \text{ К}^{-1}$, железа — $\alpha_{\text{ж}} = 0,006 \text{ К}^{-1}$. При температуре $t_1 = 20 \text{ °С}$ удельное сопротивление угля $\rho_{\text{уг}} = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}$, удельное сопротивление железа $\rho_{\text{ж}} = 9,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Дано:

Температурный коэффициент сопротивления угля, $\alpha_{уг} = -0,0008 \text{ К}^{-1}$

Температурный коэффициент сопротивления железа, $\alpha_{ж} = 0,006 \text{ К}^{-1}$

Начальная температура, $t_1 = 20 \text{ °C}$

Удельное сопротивление угля при $t_1$, $\rho_{уг} = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Удельное сопротивление железа при $t_1$, $\rho_{ж} = 9,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Площади поперечного сечения стержней одинаковы, $S_{уг} = S_{ж} = S$

Общее сопротивление не зависит от температуры, $R_{общ}(t) = const$

Найти:

Отношение длин стержней, $\frac{l_{уг}}{l_{ж}}$

Решение:

Стержни соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление равно сумме сопротивлений каждого стержня:

$R_{общ} = R_{уг} + R_{ж}$

Зависимость сопротивления от температуры для каждого стержня описывается формулой:

$R(t) = R_1(1 + \alpha(t - t_1))$

где $R_1$ — сопротивление при начальной температуре $t_1$, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, $t$ — конечная температура.

Тогда общее сопротивление при температуре $t$ будет равно:

$R_{общ}(t) = R_{уг,1}(1 + \alpha_{уг}(t - t_1)) + R_{ж,1}(1 + \alpha_{ж}(t - t_1))$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$R_{общ}(t) = R_{уг,1} + R_{уг,1}\alpha_{уг}(t - t_1) + R_{ж,1} + R_{ж,1}\alpha_{ж}(t - t_1)$

$R_{общ}(t) = (R_{уг,1} + R_{ж,1}) + (R_{уг,1}\alpha_{уг} + R_{ж,1}\alpha_{ж})(t - t_1)$

По условию задачи, общее сопротивление не зависит от температуры. Это означает, что коэффициент при температурном множителе $(t - t_1)$ должен быть равен нулю:

$R_{уг,1}\alpha_{уг} + R_{ж,1}\alpha_{ж} = 0$

Сопротивление стержня можно выразить через его удельное сопротивление $\rho$, длину $l$ и площадь поперечного сечения $S$ по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$. Подставим это выражение в наше условие для сопротивлений при температуре $t_1$:

$(\rho_{уг} \frac{l_{уг}}{S}) \alpha_{уг} + (\rho_{ж} \frac{l_{ж}}{S}) \alpha_{ж} = 0$

Поскольку площади поперечного сечения стержней одинаковы ($S$), мы можем сократить их:

$\rho_{уг}l_{уг}\alpha_{уг} + \rho_{ж}l_{ж}\alpha_{ж} = 0$

Выразим из этого уравнения искомое отношение длин $\frac{l_{уг}}{l_{ж}}$:

$\rho_{уг}l_{уг}\alpha_{уг} = - \rho_{ж}l_{ж}\alpha_{ж}$

$\frac{l_{уг}}{l_{ж}} = -\frac{\rho_{ж}\alpha_{ж}}{\rho_{уг}\alpha_{уг}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{l_{уг}}{l_{ж}} = -\frac{9,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0,006 \text{ К}^{-1}}{4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot (-0,0008 \text{ К}^{-1})}$

$\frac{l_{уг}}{l_{ж}} = \frac{9,8 \cdot 10^{-8} \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{4,0 \cdot 10^{-5} \cdot 8 \cdot 10^{-4}} = \frac{58,8 \cdot 10^{-11}}{32 \cdot 10^{-9}} = \frac{58,8}{32} \cdot 10^{-2} = 1,8375 \cdot 10^{-2} = 0,018375$

Ответ: Отношение длины угольного стержня к длине железного стержня должно быть равно 0,018375.