Номер 1204, страница 276 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1204. *Определите, на сколько процентов уменьшится мощность, потребляемая электромагнитом, обмотка которого выполнена из медной проволоки, при увеличении ее температуры от $t_0 = 0^{\circ}C$ до $t = 35^{\circ}C$. Напряжение на концах обмотки поддерживается постоянным.

Дано:

Материал обмотки – медь

Начальная температура, $t_0 = 0 \text{ °С}$

Конечная температура, $t = 35 \text{ °С}$

Напряжение на обмотке, $U = \text{const}$

Температурный коэффициент сопротивления меди, $\alpha = 0.0043 \text{ °С}^{-1}$ (справочное значение при $0 \text{ °С}$)

В данной задаче изменение температуры $\Delta t$ в градусах Цельсия равно изменению температуры $\Delta T$ в Кельвинах, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

Процентное уменьшение мощности, $\frac{\Delta P}{P_0} \cdot 100\%$

Решение:

Мощность, потребляемая электромагнитом, вычисляется по формуле:

$P = \frac{U^2}{R}$

где $U$ – напряжение на концах обмотки, а $R$ – ее электрическое сопротивление. Так как по условию напряжение постоянно ($U = \text{const}$), мощность зависит только от сопротивления.

При начальной температуре $t_0$ мощность равна:

$P_0 = \frac{U^2}{R_0}$

где $R_0$ – сопротивление обмотки при температуре $t_0$.

При конечной температуре $t$ мощность будет равна:

$P = \frac{U^2}{R}$

где $R$ – сопротивление обмотки при температуре $t$.

Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается следующей формулой:

$R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$

где $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta t = t - t_0$ – изменение температуры.

Найдем изменение температуры:

$\Delta t = 35 \text{ °С} - 0 \text{ °С} = 35 \text{ °С}$

Относительное уменьшение мощности равно:

$\frac{\Delta P}{P_0} = \frac{P_0 - P}{P_0} = 1 - \frac{P}{P_0}$

Найдем отношение мощностей:

$\frac{P}{P_0} = \frac{U^2/R}{U^2/R_0} = \frac{R_0}{R}$

Подставим в это выражение формулу для $R$:

$\frac{P}{P_0} = \frac{R_0}{R_0(1 + \alpha \Delta t)} = \frac{1}{1 + \alpha \Delta t}$

Теперь можем найти относительное уменьшение мощности:

$\frac{\Delta P}{P_0} = 1 - \frac{1}{1 + \alpha \Delta t} = \frac{(1 + \alpha \Delta t) - 1}{1 + \alpha \Delta t} = \frac{\alpha \Delta t}{1 + \alpha \Delta t}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\Delta P}{P_0} = \frac{0.0043 \text{ °С}^{-1} \cdot 35 \text{ °С}}{1 + 0.0043 \text{ °С}^{-1} \cdot 35 \text{ °С}} = \frac{0.1505}{1 + 0.1505} = \frac{0.1505}{1.1505} \approx 0.1308$

Чтобы выразить это значение в процентах, умножим результат на $100\%$:

$0.1308 \cdot 100\% \approx 13.1\%$

Округляя до целых, получаем $13\%$.

Ответ: Мощность, потребляемая электромагнитом, уменьшится примерно на $13\%$.