Номер 1198, страница 275 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1198. *Платиновая проволока термометра сопротивления при температуре $t_1 = 10°C$ обладает сопротивлением $R_1 = 10,4 \text{ Ом}$. Определите температуру, при которой сопротивление проволоки $R_2 = 12,0 \text{ Ом}$.

Дано:

$t_1 = 10^\circ C$

$R_1 = 10,4 \text{ Ом}$

$R_2 = 12,0 \text{ Ом}$

Материал проволоки - платина.

Температурный коэффициент сопротивления платины (справочная величина) $\alpha \approx 3,9 \times 10^{-3} \text{ K}^{-1}$.

В данной задаче все величины представлены в единицах, удобных для расчетов. Перевод в систему СИ не требуется, так как температурный коэффициент сопротивления $\alpha$ имеет одинаковое числовое значение как в $K^{-1}$, так и в $^\circ C^{-1}$, а температура используется в формуле в градусах Цельсия.

Найти:

$t_2$

Решение:

Зависимость сопротивления металлического проводника от температуры для не очень больших изменений температуры можно считать линейной. Она описывается следующей формулой:

$R(t) = R_0(1 + \alpha t)$

где $R(t)$ – сопротивление при температуре $t$, выраженной в градусах Цельсия, $R_0$ – сопротивление при $0^\circ C$, и $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления.

Запишем это уравнение для двух состояний платиновой проволоки, которые даны в условии задачи:

1. При температуре $t_1$: $R_1 = R_0(1 + \alpha t_1)$

2. При искомой температуре $t_2$: $R_2 = R_0(1 + \alpha t_2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $R_0$ и $t_2$. Чтобы найти $t_2$, необходимо исключить $R_0$. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_0(1 + \alpha t_2)}{R_0(1 + \alpha t_1)} = \frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}$

Теперь из полученного соотношения выразим искомую температуру $t_2$:

$\frac{R_2}{R_1}(1 + \alpha t_1) = 1 + \alpha t_2$

$\alpha t_2 = \frac{R_2}{R_1}(1 + \alpha t_1) - 1$

$t_2 = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_2}{R_1}(1 + \alpha t_1) - 1 \right)$

Подставим в формулу числовые значения:

$t_2 = \frac{1}{3,9 \times 10^{-3}} \left( \frac{12,0}{10,4} (1 + 3,9 \times 10^{-3} \cdot 10) - 1 \right)$

$t_2 = \frac{1}{0,0039} \left( \frac{12,0}{10,4} (1 + 0,039) - 1 \right)$

$t_2 = \frac{1}{0,0039} \left( \frac{12,0}{10,4} \cdot 1,039 - 1 \right)$

$t_2 \approx \frac{1}{0,0039} (1,15385 \cdot 1,039 - 1)$

$t_2 \approx \frac{1}{0,0039} (1,19885 - 1)$

$t_2 \approx \frac{0,19885}{0,0039} \approx 50,987^\circ C$

Округляя результат с учётом точности исходных данных, получаем:

$t_2 \approx 51^\circ C$

Ответ: $t_2 \approx 51^\circ C$.