Номер 1199, страница 275 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1199. *Определите температуру вольфрамовой нити накаливания лампы в момент ее подключения к источнику постоянного напряжения, если сила тока в этот момент в $n = 12$ раз превышает силу тока в установившемся рабочем режиме, которому соответствует температура нити накаливания лампы $t_2 = 2500 \, \text{°C}$.

Дано:

Отношение силы тока в момент подключения к силе тока в рабочем режиме: $n = \frac{I_1}{I_2} = 12$.

Температура нити в рабочем режиме: $t_2 = 2500 \,^{\circ}\text{C}$.

Материал нити: вольфрам.

Температурный коэффициент сопротивления вольфрама (справочное значение): $\alpha \approx 0.0045 \, (^{\circ}\text{C})^{-1}$. Это значение обычно соответствует опорной температуре $t_0 = 20 \,^{\circ}\text{C}$.

Найти:

Температуру нити в момент подключения: $t_1$.

Решение:

Лампа подключается к источнику постоянного напряжения $U$. Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока $I$ обратно пропорциональна сопротивлению $R$:

$I = \frac{U}{R}$

В момент подключения, когда нить еще холодная (состояние 1), сила тока и сопротивление равны $I_1$ и $R_1$:

$I_1 = \frac{U}{R_1}$

В установившемся рабочем режиме, когда нить раскалена (состояние 2), сила тока и сопротивление равны $I_2$ и $R_2$:

$I_2 = \frac{U}{R_2}$

Из условия задачи известно, что $I_1 = n \cdot I_2$. Подставим в это соотношение выражения для токов:

$\frac{U}{R_1} = n \cdot \frac{U}{R_2}$

Сократив напряжение $U$, получим соотношение между сопротивлениями нити в холодном и горячем состояниях:

$R_2 = n \cdot R_1$

Зависимость сопротивления металлического проводника от температуры можно описать линейной функцией:

$R(t) = R_0(1 + \alpha(t - t_0))$

где $R(t)$ — сопротивление при температуре $t$, $R_0$ — сопротивление при опорной температуре $t_0$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления.

Применим эту формулу для состояний 1 и 2:

$R_1 = R_0(1 + \alpha(t_1 - t_0))$

$R_2 = R_0(1 + \alpha(t_2 - t_0))$

Теперь подставим эти выражения в полученное ранее соотношение $R_2 = n \cdot R_1$:

$R_0(1 + \alpha(t_2 - t_0)) = n \cdot R_0(1 + \alpha(t_1 - t_0))$

Сократим $R_0$ и получим уравнение для нахождения $t_1$:

$1 + \alpha(t_2 - t_0) = n(1 + \alpha(t_1 - t_0))$

Выразим из этого уравнения $t_1$:

$1 + \alpha t_2 - \alpha t_0 = n + n\alpha t_1 - n\alpha t_0$

$n\alpha t_1 = 1 + \alpha t_2 - \alpha t_0 - n + n\alpha t_0$

$n\alpha t_1 = (1 - n) + \alpha(t_2 - t_0 + n t_0)$

$t_1 = \frac{1 - n + \alpha(t_2 + (n-1)t_0)}{n\alpha}$

Также можно выразить $t_1$ по-другому для удобства вычислений:

$t_1 - t_0 = \frac{1 + \alpha(t_2 - t_0) - n}{n\alpha}$

$t_1 = t_0 + \frac{1 - n + \alpha(t_2 - t_0)}{n\alpha}$

Подставим числовые значения: $n=12$, $t_2=2500 \,^{\circ}\text{C}$, $t_0=20 \,^{\circ}\text{C}$, $\alpha=0.0045 \, (^{\circ}\text{C})^{-1}$.

$t_1 = 20 + \frac{1 - 12 + 0.0045 \cdot (2500 - 20)}{12 \cdot 0.0045}$

$t_1 = 20 + \frac{-11 + 0.0045 \cdot 2480}{0.054}$

$t_1 = 20 + \frac{-11 + 11.16}{0.054}$

$t_1 = 20 + \frac{0.16}{0.054}$

$t_1 \approx 20 + 2.96 \approx 22.96 \,^{\circ}\text{C}$

Полученное значение соответствует обычной комнатной температуре.

Ответ: $t_1 \approx 23 \,^{\circ}\text{C}$.