Номер 1197, страница 275 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1197. *При температуре $t_1 = 10°C$ удельное сопротивление алюминиевого провода $\rho_1 = 2,8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$. Определите удельное сопротивление этого провода при температуре $t_2 = 80°C$.

Дано:

$t_1 = 10 \text{ °C}$

$\rho_1 = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$t_2 = 80 \text{ °C}$

Материал провода - алюминий.

Перевод в систему СИ:

$T_1 = 10 + 273.15 = 283.15 \text{ К}$

$T_2 = 80 + 273.15 = 353.15 \text{ К}$

$\rho_1 = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (уже в СИ)

Найти:

$\rho_2$

Решение:

Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры в определенном диапазоне можно считать линейной. Для расчета удельного сопротивления при новой температуре используется следующая формула:

$\rho_2 = \rho_1 (1 + \alpha (t_2 - t_1))$

Здесь $\rho_1$ — удельное сопротивление при начальной температуре $t_1$, $\rho_2$ — искомое удельное сопротивление при конечной температуре $t_2$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления материала.

Из справочных данных для алюминия, температурный коэффициент сопротивления $\alpha \approx 4.2 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$.

Для расчетов нам необходимо найти изменение температуры $\Delta t = t_2 - t_1$. Так как изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин, мы можем использовать значения в °C:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 80 \text{ °C} - 10 \text{ °C} = 70 \text{ °C}$

Это изменение эквивалентно $\Delta T = 70 \text{ К}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$\rho_2 = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot (1 + 4.2 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1} \cdot 70 \text{ К})$

Выполним вычисления:

$4.2 \cdot 10^{-3} \cdot 70 = 0.294$

$\rho_2 = 2.8 \cdot 10^{-8} \cdot (1 + 0.294) = 2.8 \cdot 10^{-8} \cdot 1.294$

$\rho_2 = 3.6232 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Учитывая, что исходное значение удельного сопротивления дано с двумя значащими цифрами, округлим результат до такого же количества значащих цифр:

$\rho_2 \approx 3.6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Ответ: удельное сопротивление алюминиевого провода при температуре $80 \text{ °C}$ составит $3.6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.