Номер 1201, страница 276 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1201. *При погружении катушки из медной проволоки в тающий лед ($t_0 = 0°C$) сила тока в проволоке была $I_0 = 14 \, \text{мА}$, а при опускании ее в кипяток ($t = 100°C$) сила тока стала $I = 10 \, \text{мА}$. Определите по этим данным температурный коэффициент сопротивления меди. Напряжение на концах проволоки оставалось постоянным.

Дано:
Температура в тающем льду, $t_0 = 0^\circ C$
Сила тока при $t_0$, $I_0 = 14 \text{ мА}$
Температура в кипятке, $t = 100^\circ C$
Сила тока при $t$, $I = 10 \text{ мА}$
Напряжение на концах проволоки, $U = \text{const}$

$I_0 = 14 \text{ мА} = 14 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.014 \text{ А}$
$I = 10 \text{ мА} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.010 \text{ А}$

Найти:
Температурный коэффициент сопротивления меди, $\alpha$.

Решение

Сопротивление проводника зависит от его температуры. Воспользуемся законом Ома для участка цепи, чтобы выразить сопротивление катушки при температурах $t_0$ и $t$.

Сопротивление катушки в тающем льду ($t_0 = 0^\circ C$):

$R_0 = \frac{U}{I_0}$

Сопротивление катушки в кипятке ($t = 100^\circ C$):

$R = \frac{U}{I}$

Зависимость сопротивления от температуры для металлов в данном диапазоне температур можно считать линейной и описать формулой:

$R = R_0(1 + \alpha(t - t_0))$

где $\alpha$ — искомый температурный коэффициент сопротивления.

Теперь подставим выражения для $R$ и $R_0$ в эту формулу:

$\frac{U}{I} = \frac{U}{I_0}(1 + \alpha(t - t_0))$

Так как напряжение $U$ на концах проволоки по условию задачи оставалось постоянным, мы можем сократить его в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{I} = \frac{1}{I_0}(1 + \alpha(t - t_0))$

Выразим из этого соотношения температурный коэффициент сопротивления $\alpha$. Для этого умножим обе части уравнения на $I_0$:

$\frac{I_0}{I} = 1 + \alpha(t - t_0)$

Перенесем 1 в левую часть:

$\alpha(t - t_0) = \frac{I_0}{I} - 1 = \frac{I_0 - I}{I}$

Отсюда находим $\alpha$:

$\alpha = \frac{I_0 - I}{I(t - t_0)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Можно использовать силу тока в миллиамперах, так как они сократятся:

$\alpha = \frac{14 \text{ мА} - 10 \text{ мА}}{10 \text{ мА} \cdot (100^\circ C - 0^\circ C)} = \frac{4 \text{ мА}}{10 \text{ мА} \cdot 100^\circ C} = \frac{4}{1000} \text{ } ^\circ C^{-1} = 0.004°C^{-1}$

Поскольку изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин, то значение температурного коэффициента будет таким же и в единицах $K^{-1}$.

Ответ: температурный коэффициент сопротивления меди равен $0.004°C^{-1}$ (или $4 \cdot 10^{-3} \text{ } K^{-1}$).