Номер 1202, страница 276 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1202. *Нихромовая спираль нагревательного прибора должна иметь сопротивление $R = 30\ \mathrm{Ом}$ при температуре $t = 900\ ^{\circ}\mathrm{C}$. Определите длину проволоки, взятой для изготовления спирали, если площадь поперечного сечения проволоки $S = 0,30\ \mathrm{мм^2}$.

Дано:

$R = 30$ Ом

$t = 900$ °C

$S = 0,30$ мм²

Материал — нихром

Найти:

$l$ — ?

Решение:

Сопротивление проводника определяется его геометрическими размерами и материалом по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения, а $\rho$ — удельное сопротивление материала при рабочей температуре $t$.

Удельное сопротивление материала зависит от температуры. Эту зависимость можно выразить формулой:

$\rho = \rho_0(1 + \alpha(t - t_0))$

Здесь $\rho_0$ — удельное сопротивление при начальной температуре $t_0$ (обычно принимается $t_0 = 20$ °C), а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления.

Объединив две формулы, получим выражение для сопротивления нагретой спирали:

$R = \frac{\rho_0(1 + \alpha(t - t_0)) \cdot l}{S}$

Из этой формулы выразим искомую длину проволоки $l$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho_0(1 + \alpha(t - t_0))}$

Для расчётов воспользуемся справочными данными для нихрома:

Удельное сопротивление при $t_0 = 20$ °C: $\rho_0 \approx 1,1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Температурный коэффициент сопротивления: $\alpha \approx 0,0001 \frac{1}{°C}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для расчёта длины:

$l = \frac{30 \text{ Ом} \cdot 0,30 \text{ мм}^2}{1,1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot (1 + 0,0001 \frac{1}{°C} \cdot (900\text{°C} - 20\text{°C}))}$

$l = \frac{9 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2}{1,1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot (1 + 0,0001 \cdot 880)}$

$l = \frac{9}{1,1 \cdot (1 + 0,088)} \text{ м}$

$l = \frac{9}{1,1 \cdot 1,088} \text{ м}$

$l = \frac{9}{1,1968} \text{ м} \approx 7,52 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точным данным значением $S = 0,30$ мм²), получаем:

$l \approx 7,5 \text{ м}$

Ответ: длина проволоки, взятой для изготовления спирали, составляет примерно 7,5 м.