Номер 1190, страница 273 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1190. Электрическая цепь (рис. 289) состоит из источника тока с ЭДС $\mathcal{E}=4,0 \text{ В}$, двух резисторов сопротивлениями $R_1 = 2,0 \text{ Ом}$, $R_2 = 3,0 \text{ Ом}$, катушки индуктивностью $L = 6,0 \text{ мГн}$ и конденсатора емкостью $C = 2,5 \text{ мФ}$. В начальный момент времени ключ $K$ был замкнут и в цепи протекал постоянный ток. Определите количество теплоты, которое выделится в первом резисторе после размыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушки пренебречь.

Рис. 289

Дано:

ЭДС источника, $E = 4,0$ В

Сопротивление первого резистора, $R_1 = 2,0$ Ом

Сопротивление второго резистора, $R_2 = 3,0$ Ом

Индуктивность катушки, $L = 6,0$ мГн = $6,0 \cdot 10^{-3}$ Гн

Емкость конденсатора, $C = 2,5$ мФ = $2,5 \cdot 10^{-3}$ Ф

Внутреннее сопротивление источника, $r = 0$

Найти:

Количество теплоты, выделившееся в первом резисторе, $Q_1$

Решение:

1. В начальный момент времени, когда ключ K замкнут длительное время, в цепи установился постоянный ток. В режиме постоянного тока катушка индуктивности ведет себя как проводник с нулевым сопротивлением (по условию), а конденсатор — как разрыв цепи.

Поэтому ток от источника не течет через ветвь с конденсатором. Напряжение на конденсаторе равно напряжению на зажимах источника, которое, ввиду отсутствия внутреннего сопротивления ($r=0$), равно ЭДС:

$U_C = E = 4,0$ В.

Энергия, запасенная в конденсаторе:

$W_C = \frac{C U_C^2}{2} = \frac{(2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Ф}) \cdot (4,0 \text{ В})^2}{2} = \frac{2,5 \cdot 10^{-3} \cdot 16}{2} = 20 \cdot 10^{-3}$ Дж.

Ток протекает через ветвь с резисторами $R_1$, $R_2$ и катушкой $L$. Резисторы соединены параллельно, их общее сопротивление:

$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2,0 \text{ Ом} \cdot 3,0 \text{ Ом}}{2,0 \text{ Ом} + 3,0 \text{ Ом}} = \frac{6,0}{5,0}$ Ом $= 1,2$ Ом.

Так как сопротивление катушки равно нулю, ток, протекающий через нее, равен общему току через параллельные резисторы. Напряжение на этой ветви равно ЭДС источника:

$I_L = \frac{E}{R_{12}} = \frac{4,0 \text{ В}}{1,2 \text{ Ом}} = \frac{40}{12}$ А $= \frac{10}{3}$ А.

Энергия, запасенная в магнитном поле катушки:

$W_L = \frac{L I_L^2}{2} = \frac{(6,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot (\frac{10}{3} \text{ А})^2}{2} = 3,0 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{100}{9} = \frac{100}{3} \cdot 10^{-3}$ Дж $= \frac{1}{30}$ Дж.

2. После размыкания ключа K источник отключается, и образуется замкнутый контур, состоящий из конденсатора, катушки и двух параллельных резисторов. Вся энергия, запасенная в катушке и конденсаторе, перейдет в теплоту, которая выделится на резисторах.

Полное количество теплоты $Q_{общ}$ равно сумме начальных энергий катушки и конденсатора:

$Q_{общ} = W_L + W_C = \frac{1}{30} \text{ Дж} + 20 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = \frac{1}{30} + \frac{20}{1000} = \frac{1}{30} + \frac{1}{50} = \frac{5+3}{150} = \frac{8}{150} = \frac{4}{75}$ Дж.

3. Это тепло $Q_{общ}$ распределяется между резисторами $R_1$ и $R_2$. Поскольку они соединены параллельно, напряжение на них в любой момент времени одинаково. Отношение мгновенных мощностей, выделяемых на резисторах, обратно пропорционально их сопротивлениям:

$\frac{P_1(t)}{P_2(t)} = \frac{U(t)^2/R_1}{U(t)^2/R_2} = \frac{R_2}{R_1}$.

Так как количество теплоты является интегралом от мощности по времени, отношение количеств теплоты будет таким же:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{3,0}{2,0} = 1,5$.

Мы имеем систему уравнений:

$Q_1 + Q_2 = Q_{общ} = \frac{4}{75}$ Дж

$Q_1 = 1,5 Q_2$

Подставим второе уравнение в первое: $1,5 Q_2 + Q_2 = \frac{4}{75} \Rightarrow 2,5 Q_2 = \frac{4}{75} \Rightarrow Q_2 = \frac{4}{75 \cdot 2,5} = \frac{8}{375}$ Дж.

Тогда $Q_1 = 1,5 \cdot Q_2 = 1,5 \cdot \frac{8}{375} = \frac{12}{375} = \frac{4}{125}$ Дж.

Или можно найти долю $Q_1$ от общей теплоты:

$Q_1 = Q_{общ} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4}{75} \text{ Дж} \cdot \frac{3,0}{2,0 + 3,0} = \frac{4}{75} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{375} = \frac{4}{125}$ Дж.

В десятичной форме:

$Q_1 = \frac{4}{125} = 0,032$ Дж.

Ответ: $0,032$ Дж (или 32 мДж).