Номер 1189, страница 272 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1189. На рисунке 288 представлена схема электрической цепи, в которую включены три резистора сопротивлениями $R_1 = 20$ Ом, $R_2 = 30$ Ом, $R_3 = 40$ Ом, катушка индуктивности и источник тока с ЭДС $\mathcal{E} = 8,0$ В. Сначала ключ $K$ был замкнут. После размыкания ключа в первом резисторе выделилось количество теплоты $Q_1 = 30$ мкДж. Определите индуктивность катушки, если сопротивлениями катушки и источника тока пренебречь.

Рис. 288

Дано:

$R_1 = 20$ Ом

$R_2 = 30$ Ом

$R_3 = 40$ Ом

$\mathcal{E} = 8,0$ В

$Q_1 = 30$ мкДж

Перевод в СИ:

$Q_1 = 30 \cdot 10^{-6}$ Дж

Найти:

$L$

Решение:

1. Когда ключ $K$ замкнут, в цепи устанавливается постоянный ток. В режиме постоянного тока идеальная катушка индуктивности (с нулевым сопротивлением) представляет собой короткое замыкание. Резисторы $R_1$, $R_2$ и катушка $L$ соединены параллельно. Поскольку сопротивление катушки равно нулю, весь ток в этой параллельной ветви пойдет через катушку, минуя резисторы $R_1$ и $R_2$.

Таким образом, общее сопротивление внешней цепи определяется только сопротивлением резистора $R_3$. По закону Ома для полной цепи, сила тока, протекающего через источник и, следовательно, через катушку, равна (с учетом, что внутреннее сопротивление источника $r=0$):

$I_L = \frac{\mathcal{E}}{R_3} = \frac{8,0 \text{ В}}{40 \text{ Ом}} = 0,2$ А.

2. Энергия, запасенная в магнитном поле катушки индуктивности при протекании через нее тока $I_L$, определяется формулой:

$W_L = \frac{L I_L^2}{2}$

3. После размыкания ключа $K$ источник тока и резистор $R_3$ отключаются от цепи, состоящей из катушки $L$ и параллельно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Запасенная в катушке энергия $W_L$ полностью выделяется в виде тепла на этих двух резисторах. По закону сохранения энергии:

$W_L = Q_{total} = Q_1 + Q_2$

где $Q_1$ и $Q_2$ — количество теплоты, выделившееся на резисторах $R_1$ и $R_2$ соответственно.

4. Найдем соотношение между $Q_1$ и $Q_2$. В любой момент времени $t$ после размыкания ключа, на параллельно соединенных резисторах $R_1$ и $R_2$ будет одинаковое напряжение $U(t)$. Мгновенная мощность, выделяемая на резисторах, равна:

$P_1(t) = \frac{U(t)^2}{R_1}$ и $P_2(t) = \frac{U(t)^2}{R_2}$

Количество теплоты — это интеграл от мощности по времени. Найдем отношение количеств теплоты:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\int_{0}^{\infty} P_1(t) dt}{\int_{0}^{\infty} P_2(t) dt} = \frac{\int_{0}^{\infty} \frac{U(t)^2}{R_1} dt}{\int_{0}^{\infty} \frac{U(t)^2}{R_2} dt} = \frac{\frac{1}{R_1} \int_{0}^{\infty} U(t)^2 dt}{\frac{1}{R_2} \int_{0}^{\infty} U(t)^2 dt} = \frac{R_2}{R_1}$

Отсюда можно выразить $Q_2$ через $Q_1$:

$Q_2 = Q_1 \frac{R_1}{R_2} = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} \cdot \frac{20 \text{ Ом}}{30 \text{ Ом}} = 20 \cdot 10^{-6}$ Дж.

5. Суммарное количество теплоты, выделившееся на резисторах $R_1$ и $R_2$:

$Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} + 20 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 50 \cdot 10^{-6}$ Дж.

6. Теперь приравняем энергию, запасенную в катушке, к полному количеству выделившейся теплоты и выразим индуктивность $L$:

$W_L = Q_{total}$

$\frac{L I_L^2}{2} = Q_{total}$

$L = \frac{2 Q_{total}}{I_L^2}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{2 \cdot 50 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{(0,2 \text{ А})^2} = \frac{100 \cdot 10^{-6}}{0,04} = \frac{10^{-4}}{4 \cdot 10^{-2}} = 25 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} = 2,5 \cdot 10^{-3}$ Гн.

Ответ: $2,5$ мГн.