Номер 1187, страница 271 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1187. В электрической цепи, схема которой показана на рисунке 286, ЭДС источника тока $\mathcal{E}=12$ В, емкость конденсатора $C = 2,0$ мФ, индуктивность катушки $L = 4,0$ мГн, сопротивления резисторов $R_1 = 4,0$ Ом и $R_2 = 5,0$ Ом. В начальный момент ключ $K$ замкнут. Определите количество теплоты, которое выделится во втором резисторе после размыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушки пренебречь.

Рис. 286

Дано:

ЭДС источника, $\mathscr{E} = 12$ В

Емкость конденсатора, $C = 2,0$ мФ $= 2,0 \cdot 10^{-3}$ Ф

Индуктивность катушки, $L = 4,0$ мГн $= 4,0 \cdot 10^{-3}$ Гн

Сопротивление первого резистора, $R_1 = 4,0$ Ом

Сопротивление второго резистора, $R_2 = 5,0$ Ом

Внутреннее сопротивление источника, $r = 0$

Сопротивление катушки, $R_L = 0$

Найти:

Количество теплоты, выделившееся во втором резисторе, $Q_2$

Решение:

В начальный момент ключ K замкнут, и в цепи установился постоянный ток. В режиме постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв цепи, поэтому ток через ветвь с конденсатором и резистором $R_2$ не течет. Катушка индуктивности в режиме постоянного тока ведет себя как проводник с нулевым сопротивлением (по условию). Таким образом, ток от источника протекает только через катушку $L$ и резистор $R_1$.

Сила тока в этой ветви, согласно закону Ома для полной цепи (с учетом $r=0$):

$I_1 = \frac{\mathscr{E}}{R_1} = \frac{12 \text{ В}}{4,0 \text{ Ом}} = 3,0 \text{ А}$

В этот момент катушка индуктивности запасает энергию магнитного поля:

$W_L = \frac{L I_1^2}{2} = \frac{4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot (3,0 \text{ А})^2}{2} = \frac{4,0 \cdot 10^{-3} \cdot 9,0}{2} = 18 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 18 \text{ мДж}$

Напряжение на ветви с катушкой и резистором $R_1$ равно напряжению на резисторе $R_1$, так как на идеальной катушке падение напряжения при постоянном токе равно нулю. Это напряжение равно ЭДС источника, так как $r=0$.

$U_{R1} = I_1 R_1 = 3,0 \text{ А} \cdot 4,0 \text{ Ом} = 12 \text{ В}$

Поскольку ветвь с конденсатором подключена параллельно, напряжение на конденсаторе равно напряжению на этой ветви:

$U_C = U_{R1} = \mathscr{E} = 12 \text{ В}$

Конденсатор запасает энергию электрического поля:

$W_C = \frac{C U_C^2}{2} = \frac{2,0 \cdot 10^{-3} \text{ Ф} \cdot (12 \text{ В})^2}{2} = 1,0 \cdot 10^{-3} \cdot 144 = 144 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 144 \text{ мДж}$

Полная энергия, запасенная в цепи в начальный момент времени, равна сумме энергий катушки и конденсатора:

$W_{общ} = W_L + W_C = 18 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} + 144 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 162 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

После размыкания ключа K источник отключается от цепи. Образуется замкнутый колебательный контур, состоящий из катушки $L$, конденсатора $C$ и двух резисторов $R_1$ и $R_2$, соединенных последовательно. Вся запасенная энергия $W_{общ}$ выделится на резисторах в виде теплоты $Q_{общ}$.

$Q_{общ} = Q_1 + Q_2 = W_{общ}$

где $Q_1$ и $Q_2$ - количества теплоты, выделившиеся на резисторах $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Поскольку резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно, через них в любой момент времени протекает один и тот же ток $i(t)$. Мгновенная мощность, выделяемая на резисторах, равна $P_1 = i^2(t)R_1$ и $P_2 = i^2(t)R_2$. Количество теплоты, выделившееся за все время, равно интегралу от мощности:

$Q_1 = \int_0^\infty i^2(t)R_1 dt = R_1 \int_0^\infty i^2(t) dt$

$Q_2 = \int_0^\infty i^2(t)R_2 dt = R_2 \int_0^\infty i^2(t) dt$

Отношение количеств теплоты равно отношению сопротивлений:

$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{R_2}{R_1}$

Следовательно, общая теплота распределяется между резисторами пропорционально их сопротивлениям. Количество теплоты, выделившееся на втором резисторе, составляет долю $\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ от общей выделившейся теплоты:

$Q_2 = Q_{общ} \frac{R_2}{R_1 + R_2} = W_{общ} \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения:

$Q_2 = 162 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} \cdot \frac{5,0 \text{ Ом}}{4,0 \text{ Ом} + 5,0 \text{ Ом}} = 162 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{5,0}{9,0} = 18 \cdot 10^{-3} \cdot 5,0 = 90 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Ответ: $90$ мДж.