Номер 1181, страница 270 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1181. Сила тока, протекающего в катушке, $I = 20 \text{ А}$. Определите ее индуктивность, если при равномерном уменьшении тока энергия магнитного поля в катушке за промежуток времени $\Delta t = 1 \text{ с}$ уменьшается в $n = 4$ раза, а возникающая при этом ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_c = 0,1 \text{ В}$.

Дано:

$I_1 = 20 \text{ А}$

$\Delta t = 1 \text{ с}$

$n = 4$

$\mathscr{E}_c = 0,1 \text{ В}$

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Энергия магнитного поля катушки с индуктивностью $L$, по которой протекает ток $I$, определяется формулой:

$W = \frac{L I^2}{2}$

Пусть $I_1$ — начальная сила тока, а $I_2$ — конечная сила тока. Тогда начальная и конечная энергии магнитного поля равны соответственно:

$W_1 = \frac{L I_1^2}{2}$

$W_2 = \frac{L I_2^2}{2}$

По условию задачи, энергия магнитного поля уменьшилась в $n$ раз, то есть:

$W_2 = \frac{W_1}{n}$

Подставим выражения для энергий:

$\frac{L I_2^2}{2} = \frac{1}{n} \frac{L I_1^2}{2}$

Отсюда находим связь между конечной и начальной силой тока:

$I_2^2 = \frac{I_1^2}{n} \implies I_2 = \frac{I_1}{\sqrt{n}}$

ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при изменении силы тока, определяется по формуле Фарадея для самоиндукции. Так как ЭДС дана по модулю, запишем:

$\mathscr{E}_c = \left| -L \frac{\Delta I}{\Delta t} \right| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$

Поскольку ток уменьшается равномерно, изменение тока $\Delta I$ за промежуток времени $\Delta t$ равно:

$\Delta I = I_2 - I_1 = \frac{I_1}{\sqrt{n}} - I_1 = I_1 \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - 1 \right)$

Тогда модуль скорости изменения тока равен:

$\left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right| = \left| \frac{I_1 \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - 1 \right)}{\Delta t} \right| = \frac{I_1 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}{\Delta t}$

Подставим это выражение в формулу для ЭДС самоиндукции:

$\mathscr{E}_c = L \frac{I_1 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}{\Delta t}$

Выразим из этой формулы искомую индуктивность $L$:

$L = \frac{\mathscr{E}_c \Delta t}{I_1 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$L = \frac{0,1 \text{ В} \cdot 1 \text{ с}}{20 \text{ А} \cdot \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} \right)} = \frac{0,1}{20 \cdot \left( 1 - \frac{1}{2} \right)} = \frac{0,1}{20 \cdot 0,5} = \frac{0,1}{10} = 0,01 \text{ Гн}$

Ответ: индуктивность катушки равна $L = 0,01 \text{ Гн}$.