Номер 1176, страница 269 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1176. *Сколько витков провода диаметром $d$ с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на диэлектрический цилиндр, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью $L$? Витки вплотную прилегают друг к другу. Средний диаметр витка равен $D$.

С какой скоростью должен равномерно изменяться электрический ток в полученной неподвижной катушке, чтобы ЭДС самоиндукции, возникающая в ней, была равна $\mathcal{E}$?

Сколько витков провода диаметром d с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на диэлектрический цилиндр, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L? Витки вплотную прилегают друг к другу. Средний диаметр витка равен D.

Дано:

Диаметр провода: $d$
Требуемая индуктивность катушки: $L$
Средний диаметр витка: $D$

Найти:

Число витков: $N$

Решение

Индуктивность длинного соленоида (однослойной катушки) можно рассчитать по формуле:$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l}$,где $\mu_0$ — магнитная постоянная ($4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м), $N$ — общее число витков, $S$ — площадь поперечного сечения соленоида, $l$ — длина соленоида.

Площадь поперечного сечения катушки, исходя из ее среднего диаметра $D$, равна:$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$.

Так как витки провода диаметром $d$ намотаны вплотную друг к другу, а толщина изоляции пренебрежимо мала, то длина катушки $l$ может быть выражена как произведение числа витков $N$ на диаметр провода $d$:$l = N \cdot d$.

Теперь подставим выражения для площади $S$ и длины $l$ в исходную формулу для индуктивности:$L = \frac{\mu_0 N^2 \left(\frac{\pi D^2}{4}\right)}{N d} = \frac{\mu_0 N^2 \pi D^2}{4 N d} = \frac{\mu_0 N \pi D^2}{4d}$.

Из этого соотношения выразим искомое число витков $N$:$L \cdot 4d = \mu_0 N \pi D^2$
$N = \frac{4Ld}{\mu_0 \pi D^2}$.

Ответ: $N = \frac{4Ld}{\mu_0 \pi D^2}$.

С какой скоростью должен равномерно изменяться электрический ток в полученной неподвижной катушке, чтобы ЭДС самоиндукции, возникающая в ней, была равна $\mathcal{E}_c$?

Дано:

Индуктивность катушки: $L$
ЭДС самоиндукции: $\mathcal{E}_c$

Найти:

Скорость изменения тока: $\frac{dI}{dt}$

Решение

ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_c$, возникающая в катушке, прямо пропорциональна скорости изменения силы тока $\frac{dI}{dt}$ в ней. Эта зависимость выражается формулой:$\mathcal{E}_c = -L \frac{dI}{dt}$.

Знак «минус» в данной формуле отражает правило Ленца, согласно которому индукционный ток препятствует изменению магнитного потока, который его порождает. В задаче требуется найти скорость изменения тока, при которой величина ЭДС самоиндукции равна $\mathcal{E}_c$. Следовательно, мы рассматриваем абсолютные значения:$|\mathcal{E}_c| = \left|-L \frac{dI}{dt}\right| = L \left|\frac{dI}{dt}\right|$.

Из этого уравнения выражаем модуль скорости изменения тока:$\left|\frac{dI}{dt}\right| = \frac{|\mathcal{E}_c|}{L}$.

Поскольку в условии говорится, что ток должен изменяться равномерно, скорость его изменения $\frac{dI}{dt}$ является постоянной величиной.

Ответ: $\frac{dI}{dt} = \frac{\mathcal{E}_c}{L}$.