Номер 1188, страница 272 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1188. На рисунке 287 представлена схема электрической цепи, в которую включены три резистора сопротивлениями $R_1 = 10 \text{ Ом}$, $R_2 = 60 \text{ Ом}$, $R_3 = 40 \text{ Ом}$, катушка индуктивностью $L = 20 \text{ мГн}$. Сначала ключ $K$ был замкнут. После размыкания ключа в первом резисторе выделилось количество теплоты $Q_1 = 0,70 \text{ мДж}$. Определите ЭДС источника тока, если сопротивлениями катушки и источника тока пренебречь.

Рис. 287

Дано:

$R_1 = 10 \text{ Ом}$

$R_2 = 60 \text{ Ом}$

$R_3 = 40 \text{ Ом}$

$L = 20 \text{ мГн} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$Q_1 = 0,70 \text{ мДж} = 0,70 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

$r = 0 \text{ Ом}$

Найти:

$\mathscr{E}$ - ?

Решение:

Когда ключ K замкнут, в цепи течет постоянный ток. В установившемся режиме постоянного тока катушка индуктивности ведет себя как проводник с пренебрежимо малым сопротивлением. Это означает, что она создает короткое замыкание для параллельной ей ветви, содержащей резисторы $R_1$ и $R_2$. Следовательно, ток через резисторы $R_1$ и $R_2$ не идет, так как все пойдет по пути наименьшего сопротивления, то есть через катушку.

Таким образом, весь ток от источника проходит через резистор $R_3$ и катушку $L$. По закону Ома для полной цепи, сила тока $I_L$, протекающего через катушку, определяется ЭДС источника $\mathscr{E}$ и полным сопротивлением цепи. Так как сопротивлением катушки и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь ($r=0$), полное сопротивление цепи равно $R_3$.

Сила тока в катушке до размыкания ключа:

$I_L = \frac{\mathscr{E}}{R_3}$

Энергия, запасенная в магнитном поле катушки, в этот момент равна:

$W_L = \frac{L I_L^2}{2} = \frac{L}{2} \left(\frac{\mathscr{E}}{R_3}\right)^2$

После размыкания ключа K, источник тока и резистор $R_3$ отключаются от цепи. Образуется новый замкнутый контур, состоящий из катушки $L$ и последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Запасенная в катушке энергия $W_L$ полностью выделяется в виде тепла на этих двух резисторах.

Общее количество выделившейся теплоты $Q$ равно начальной энергии катушки и сумме теплот, выделившихся на каждом резисторе:

$Q = W_L = Q_1 + Q_2$

Так как резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно, через них в любой момент времени протекает одинаковый ток. Количество теплоты, выделяемое на резисторе, пропорционально его сопротивлению ($Q = \int I^2(t)R dt$). Поэтому отношение количеств теплоты, выделившихся на резисторах, равно отношению их сопротивлений:

$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Выразим $Q_2$ через $Q_1$:

$Q_2 = Q_1 \frac{R_2}{R_1}$

Тогда общее количество теплоты $Q$ равно:

$Q = Q_1 + Q_1 \frac{R_2}{R_1} = Q_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) = Q_1 \frac{R_1 + R_2}{R_1}$

Теперь приравняем два выражения для энергии: энергию, запасенную в катушке, и полную тепловую энергию, выделившуюся на резисторах.

$W_L = Q$

$\frac{L}{2} \left(\frac{\mathscr{E}}{R_3}\right)^2 = Q_1 \frac{R_1 + R_2}{R_1}$

Из этого уравнения выразим искомую ЭДС $\mathscr{E}$:

$\mathscr{E}^2 = \frac{2 Q_1 R_3^2 (R_1 + R_2)}{L R_1}$

$\mathscr{E} = \sqrt{\frac{2 Q_1 R_3^2 (R_1 + R_2)}{L R_1}} = R_3 \sqrt{\frac{2 Q_1 (R_1 + R_2)}{L R_1}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\mathscr{E} = 40 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 0,70 \cdot 10^{-3} \cdot (10 + 60)}{20 \cdot 10^{-3} \cdot 10}} = 40 \cdot \sqrt{\frac{1,4 \cdot 10^{-3} \cdot 70}{200 \cdot 10^{-3}}} = 40 \cdot \sqrt{\frac{98 \cdot 10^{-3}}{200 \cdot 10^{-3}}}$

$\mathscr{E} = 40 \cdot \sqrt{\frac{98}{200}} = 40 \cdot \sqrt{0,49} = 40 \cdot 0,7 = 28 \text{ В}$

Ответ: $28 \text{ В}$.