Номер 1248, страница 283 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1248. *К источнику тока, ЭДС которого $\mathcal{E}$, а внутреннее сопротивление пренебрежимо мало, подключена электролитическая ванна. В ванне находится электролит плотностью $\rho$ и объемом $V$. При пропускании тока через электролит в течение некоторого времени температура электролита повысилась на $\Delta t$. При этом на электроде выделился газ, который закачали в баллон. Молярная масса газа $M$. Определите объем газа в баллоне, если его давление $p$, абсолютная температура $T$. Удельная теплоемкость электролита $c$. Электрохимический эквивалент выделившегося газа $k$.

Дано:

$ \mathscr{E} $ - ЭДС источника тока

$ \rho $ - плотность электролита

$ V $ - объем электролита

$ \Delta t $ - повышение температуры электролита

$ M $ - молярная масса газа

$ p $ - давление газа в баллоне

$ T $ - абсолютная температура газа в баллоне

$ c $ - удельная теплоемкость электролита

$ k $ - электрохимический эквивалент выделившегося газа

Все величины считаются заданными в системе СИ.

Найти:

$ V_{газа} $ - объем газа в баллоне

Решение:

При прохождении электрического тока через электролитическую ванну совершается работа. Так как внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало, то напряжение на ванне равно ЭДС источника $ \mathscr{E} $. Работа электрического тока за время $ \tau $ определяется по формуле: $ A = \mathscr{E} I \tau $, где $ I $ - сила тока.

Согласно закону сохранения энергии, эта работа полностью преобразуется в количество теплоты $ Q $, которое идет на нагрев электролита. Количество теплоты, полученное электролитом, равно: $ Q = c m_{эл} \Delta t $, где $ m_{эл} $ - масса электролита. Массу электролита можно выразить через его плотность $ \rho $ и объем $ V $: $ m_{эл} = \rho V $.

Таким образом, $ Q = c \rho V \Delta t $.

Приравнивая работу тока и количество теплоты, получаем: $ A = Q $, что приводит к равенству:

$ \mathscr{E} I \tau = c \rho V \Delta t $

Заряд $ q $, прошедший через электролит за время $ \tau $, равен $ q = I \tau $. Из предыдущего уравнения можно выразить этот заряд:

$ q = \frac{c \rho V \Delta t}{\mathscr{E}} $

Масса газа $ m_{газа} $, выделившегося на электроде в процессе электролиза, определяется по первому закону Фарадея:

$ m_{газа} = k q $

Подставив в эту формулу выражение для заряда $ q $, получим массу выделившегося газа:

$ m_{газа} = k \frac{c \rho V \Delta t}{\mathscr{E}} $

Объем газа $ V_{газа} $ в баллоне можно найти с помощью уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$ p V_{газа} = \nu R T $

где $ R $ - универсальная газовая постоянная, а $ \nu $ - количество вещества газа, которое вычисляется как отношение массы газа к его молярной массе: $ \nu = \frac{m_{газа}}{M} $.

Подставим выражение для $ \nu $ в уравнение состояния:

$ p V_{газа} = \frac{m_{газа}}{M} R T $

Отсюда выразим искомый объем газа:

$ V_{газа} = \frac{m_{газа} R T}{p M} $

Наконец, подставим найденное ранее выражение для массы газа $ m_{газа} $ в эту формулу:

$ V_{газа} = \frac{\left(k \frac{c \rho V \Delta t}{\mathscr{E}}\right) R T}{p M} $

Сгруппировав все переменные, получаем окончательный ответ:

$ V_{газа} = \frac{k c \rho V R T \Delta t}{\mathscr{E} p M} $

Ответ: $ V_{газа} = \frac{k c \rho V R T \Delta t}{\mathscr{E} p M} $