Номер 238, страница 50 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

238. Идеальный газ, находящийся при температуре $t_1 = 127°C$ и давлении $p_1 = 2 \cdot 10^5$ Па, первоначально занимал объем $V_1 = 3$ л. Сначала газ изотермически сжали, затем изохорно охладили до температуры $t_3 = -73°C$ и после этого изотермически расширили до объема $V_4 = 0,5$ л. Определите конечное давление газа.

Дано:

$t_1 = 127^\circ\text{C}$

$p_1 = 2 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$V_1 = 3 \text{ л}$

$t_3 = -73^\circ\text{C}$

$V_4 = 0,5 \text{ л}$

Переведем данные в систему СИ:

$T_1 = t_1 + 273 = 127 + 273 = 400 \text{ К}$

$V_1 = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$T_3 = t_3 + 273 = -73 + 273 = 200 \text{ К}$

$V_4 = 0,5 \text{ л} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$p_4$

Решение:

Рассмотрим три последовательных процесса, происходящих с газом.

1. Процесс 1-2: Изотермическое сжатие.

Температура газа остается постоянной, $T_1 = T_2 = 400 \text{ К}$. Для этого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

2. Процесс 2-3: Изохорное охлаждение.

Объем газа остается постоянным, $V_2 = V_3$. Для этого процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3}$

Отсюда можно выразить давление $p_3$: $p_3 = p_2 \frac{T_3}{T_2}$.

3. Процесс 3-4: Изотермическое расширение.

Температура газа снова остается постоянной, $T_3 = T_4 = 200 \text{ К}$. Для этого процесса также справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_3 V_3 = p_4 V_4$

Наша цель — найти конечное давление $p_4$. Выразим его из последнего уравнения:

$p_4 = \frac{p_3 V_3}{V_4}$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $p_3$ и $V_3$ из предыдущих процессов. Мы знаем, что $V_3 = V_2$ и $p_3 = p_2 \frac{T_3}{T_2}$.

$p_4 = \frac{(p_2 \frac{T_3}{T_2}) V_2}{V_4} = \frac{p_2 V_2 T_3}{T_2 V_4}$

Из первого процесса (изотермического) мы знаем, что произведение $p_2 V_2$ равно $p_1 V_1$. Также мы знаем, что $T_2 = T_1$. Подставим эти соотношения в нашу формулу:

$p_4 = \frac{p_1 V_1 T_3}{T_1 V_4}$

Теперь подставим числовые значения. Обратите внимание, что объемы $V_1$ и $V_4$ можно подставлять в литрах, так как их единицы измерения сокращаются.

$p_4 = \frac{2 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 3 \text{ л} \cdot 200 \text{ К}}{400 \text{ К} \cdot 0,5 \text{ л}} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 3 \cdot 200}{200} \text{ Па} = 6 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: конечное давление газа равно $6 \cdot 10^5 \text{ Па}$.