Номер 239, страница 51 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

239. Два невесомых гладких поршня, соединенные нитью, вставлены в открытую с двух сторон горизонтально расположенную трубку площадью поперечного сечения $S = 10 \text{ см}^2$. Давление воздуха между поршнями и снаружи одинаковое: $p_1 = p_0 = 100 \text{ кПа}$. Температура воздуха $t_1 = 27°C$. Определите минимальную абсолютную температуру, до которой нужно нагреть воздух между поршнями, чтобы нить, соединяющая поршни, порвалась. Нить выдерживает силу натяжения, модуль которой $F = 30 \text{ Н}$.

Дано:

Площадь поперечного сечения трубки $S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

Начальное давление воздуха $p_1 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Начальная температура воздуха $t_1 = 27°C$

Абсолютная начальная температура $T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Максимальная сила натяжения нити $F = 30 \text{ Н}$

Найти:

Минимальную абсолютную температуру $T_2$, до которой нужно нагреть воздух.

Решение:

Пока нить, соединяющая поршни, цела, расстояние между ними, а следовательно, и объем воздуха $V$ между ними, остается постоянным. Процесс нагревания воздуха между поршнями является изохорным (при $V = \text{const}$).

Нить порвется, когда сила натяжения достигнет своего максимального значения $F$. В этот момент поршни все еще находятся в равновесии. Рассмотрим силы, действующие на один из поршней (например, правый) в горизонтальном направлении:

1. Сила $F_2 = p_2 S$, с которой нагретый воздух давит на поршень изнутри, направлена наружу.

2. Сила $F_0 = p_0 S$, с которой атмосферный воздух давит на поршень снаружи, направлена внутрь.

3. Сила натяжения нити $F$, направленная внутрь.

Условие равновесия поршня в момент перед разрывом нити:

$F_2 = F_0 + F$

Подставим выражения для сил через давление и площадь:

$p_2 S = p_0 S + F$

Отсюда можно найти давление воздуха $p_2$ между поршнями в момент разрыва нити:

$p_2 = p_0 + \frac{F}{S}$

Вычислим значение $p_2$:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + \frac{30 \text{ Н}}{10^{-3} \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + 30 \cdot 10^3 \text{ Па} = 130 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Так как процесс нагревания воздуха является изохорным, мы можем применить закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Из этого соотношения выразим искомую температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = 300 \text{ К} \cdot \frac{130 \cdot 10^3 \text{ Па}}{100 \cdot 10^3 \text{ Па}} = 300 \text{ К} \cdot 1.3 = 390 \text{ К}$

Ответ: $390 \text{ К}$.