Номер 234, страница 50 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

234. В вертикальном цилиндре под гладким тяжелым поршнем находится воздух при давлении $p_1 = 200 \text{ кПа}$ и температуре $t_1 = 27^\circ \text{C}$. Воздух в цилиндре нагрели до температуры $t_2 = 50^\circ \text{C}$, и он расширился, подняв поршень вверх. Определите массу груза, который нужно положить на поршень, чтобы поршень вернулся в первоначальное положение. Площадь поршня $S = 30 \text{ см}^2$.

Дано:

$p_1 = 200 \text{ кПа}$

$t_1 = 27^\circ \text{С}$

$t_2 = 50^\circ \text{С}$

$S = 30 \text{ см}^2$

Переведем данные в систему СИ:

$p_1 = 200 \times 10^3 \text{ Па} = 2 \times 10^5 \text{ Па}$

$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$T_2 = 50 + 273 = 323 \text{ К}$

$S = 30 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 3 \times 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

$m_{груза}$

Решение:

Рассмотрим два состояния газа в цилиндре: начальное и конечное. Количество вещества газа остается неизменным.

1. Начальное состояние: давление $p_1$, температура $T_1$, объем $V_1$.

2. Конечное состояние: после нагрева до температуры $T_2$ и добавления груза, поршень вернулся в исходное положение, следовательно, объем газа стал снова $V_1$. Давление газа при этом стало $p_3$.

Поскольку объем газа в начальном и конечном состояниях одинаков ($V_1 = V_3$), а количество газа не менялось, мы можем применить закон Шарля для изохорного процесса:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_3}{T_2}$

Отсюда можно выразить давление в конечном состоянии:

$p_3 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$

С другой стороны, рассмотрим силы, действующие на поршень. В начальном состоянии давление $p_1$ уравновешивает внешнее атмосферное давление и давление, создаваемое весом самого поршня. После того как на поршень положили груз, давление газа $p_3$ должно уравновешивать те же силы плюс давление, создаваемое весом груза.

Изменение давления газа $\Delta p = p_3 - p_1$ вызвано дополнительной силой тяжести груза $F = m_{груза}g$, действующей на площадь поршня $S$.

$\Delta p = \frac{m_{груза}g}{S}$

Следовательно, $p_3 - p_1 = \frac{m_{груза}g}{S}$.

Подставим в это уравнение выражение для $p_3$, полученное из закона Шарля:

$p_1 \frac{T_2}{T_1} - p_1 = \frac{m_{груза}g}{S}$

Вынесем $p_1$ за скобки:

$p_1 \left( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right) = \frac{m_{груза}g}{S}$

Выразим массу груза $m_{груза}$:

$m_{груза} = \frac{p_1 S}{g} \left( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right)$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$:

$m_{груза} = \frac{2 \times 10^5 \text{ Па} \times 3 \times 10^{-3} \text{ м}^2}{10 \text{ м/с}^2} \left( \frac{323 \text{ К}}{300 \text{ К}} - 1 \right)$

$m_{груза} = \frac{600}{10} \left( \frac{323 - 300}{300} \right) = 60 \left( \frac{23}{300} \right) = \frac{60 \times 23}{300} = \frac{23}{5} = 4.6 \text{ кг}$

Ответ: $m_{груза} = 4.6 \text{ кг}$.