Номер 227, страница 49 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

227. Температура воздуха в цилиндре, закрытом гладким поршнем, $t_1 = 7^\circ \text{C}$. На сколько переместится поршень при изобарном нагревании воздуха на $\Delta T = 20 \text{ K}$, если до нагревания расстояние от дна цилиндра до поршня было $h = 14 \text{ см}$?

Дано:

$t_1 = 7 \text{°C}$

$\Delta T = 20 \text{ K}$

$h = 14 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

Начальная абсолютная температура: $T_1 = t_1 + 273 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$

Начальное расстояние от дна до поршня: $h = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Изменение температуры $\Delta T$ дано в Кельвинах, что соответствует изменению в градусах Цельсия, и является величиной в СИ.

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Так как воздух в цилиндре нагревается при постоянном давлении (поршень гладкий и может свободно перемещаться), этот процесс является изобарным. Для изобарного процесса состояние идеального газа описывается законом Гей-Люссака:

$\frac{V}{T} = \text{const}$ или $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

где $V_1$ и $T_1$ – начальные объем и абсолютная температура воздуха, а $V_2$ и $T_2$ – конечные.

Объем воздуха в цилиндре можно выразить через площадь поперечного сечения цилиндра $S$ (которая равна площади поршня) и расстояние $h$ от дна до поршня:

$V_1 = S \cdot h$

После нагревания поршень переместится на расстояние $\Delta h$, и новое расстояние от дна до поршня станет $h_2 = h + \Delta h$. Тогда новый объем будет:

$V_2 = S \cdot h_2 = S \cdot (h + \Delta h)$

Подставим выражения для объемов в закон Гей-Люссака:

$\frac{S \cdot h}{T_1} = \frac{S \cdot (h + \Delta h)}{T_2}$

Площадь $S$ сокращается:

$\frac{h}{T_1} = \frac{h + \Delta h}{T_2}$

Конечная температура $T_2$ равна начальной температуре плюс изменение температуры:

$T_2 = T_1 + \Delta T = 280 \text{ К} + 20 \text{ К} = 300 \text{ К}$

Теперь выразим искомую величину $\Delta h$ из полученного соотношения:

$(h + \Delta h) = h \cdot \frac{T_2}{T_1}$

$\Delta h = h \cdot \frac{T_2}{T_1} - h = h \cdot (\frac{T_2}{T_1} - 1)$

Подставим числовые значения:

$\Delta h = 0.14 \text{ м} \cdot (\frac{300 \text{ К}}{280 \text{ К}} - 1) = 0.14 \cdot (\frac{30}{28} - 1) = 0.14 \cdot (\frac{15}{14} - \frac{14}{14}) = 0.14 \cdot \frac{1}{14} = 0.01 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$.

Ответ: поршень переместится на 1 см.