Номер 226, страница 48 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

226. В цилиндре, закрытом гладким поршнем площадью $S = 10 \text{ см}^2$, находился воздух при температуре $t_1 = 27 \text{ °C}$. После изобарного нагревания воздуха на $\Delta T = 30 \text{ К}$ поршень переместился на $\Delta l = 50 \text{ мм}$. Определите конечный объем этого воздуха.

Дано:

$S = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

$t_1 = 27°C$

$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$\Delta T = 30 \text{ К}$

$\Delta l = 50 \text{ мм} = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$V_2$

Решение:

Процесс нагревания воздуха в цилиндре с подвижным поршнем является изобарным, так как поршень гладкий и может свободно перемещаться, поддерживая постоянное давление внутри цилиндра. Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака, который связывает объем и абсолютную температуру газа:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

где $V_1$ и $T_1$ – начальные объем и температура воздуха, а $V_2$ и $T_2$ – конечные объем и температура.

Найдем начальную и конечную абсолютные температуры воздуха. Начальная температура в Кельвинах:

$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Воздух нагрели на $\Delta T = 30 \text{ К}$, следовательно, конечная температура:

$T_2 = T_1 + \Delta T = 300 + 30 = 330 \text{ К}$

При нагревании поршень переместился на расстояние $\Delta l$, что привело к изменению объема воздуха на величину $\Delta V$:

$\Delta V = V_2 - V_1 = S \cdot \Delta l$

Из этого соотношения выразим начальный объем $V_1$ через конечный объем $V_2$:

$V_1 = V_2 - S \cdot \Delta l$

Подставим полученное выражение для $V_1$ в уравнение закона Гей-Люссака:

$\frac{V_2 - S \cdot \Delta l}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Теперь решим это уравнение относительно искомой величины $V_2$:

$T_2 \cdot (V_2 - S \cdot \Delta l) = V_2 \cdot T_1$

$T_2 \cdot V_2 - T_2 \cdot S \cdot \Delta l = T_1 \cdot V_2$

$T_2 \cdot V_2 - T_1 \cdot V_2 = T_2 \cdot S \cdot \Delta l$

$V_2 \cdot (T_2 - T_1) = T_2 \cdot S \cdot \Delta l$

Так как $T_2 - T_1 = \Delta T$, получаем формулу для конечного объема:

$V_2 = \frac{T_2 \cdot S \cdot \Delta l}{\Delta T}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$V_2 = \frac{330 \text{ К} \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 0.05 \text{ м}}{30 \text{ К}} = 11 \cdot 10^{-3} \cdot 0.05 \text{ м}^3 = 0.55 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Результат можно также выразить в кубических сантиметрах:

$0.55 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.55 \cdot 10^{-3} \cdot (10^2)^3 \text{ см}^3 = 0.55 \cdot 10^{-3} \cdot 10^6 \text{ см}^3 = 550 \text{ см}^3$

Ответ: конечный объем воздуха равен $0.55 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$ (или $550 \text{ см}^3$).