Номер 220, страница 48 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

220. Тонкий стакан массой $m = 50$ г переворачивают вверх дном и медленно погружают в озеро, не допуская выхода воздуха из стакана. Высота стакана $h = 10$ см. Площадь дна стакана $S = 20$ см$^2$. Определите минимальную глубину, на которую надо опустить стакан в воду, чтобы он утонул. Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа. Глубину считать от поверхности воды в озере до уровня воды в стакане. Температура воздуха в стакане не изменяется.

Дано:

Масса стакана, $m = 50$ г
Высота стакана, $h = 10$ см
Площадь дна стакана, $S = 20$ см²
Атмосферное давление, $p_0 = 100$ кПа
Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Переведем данные в систему СИ:

$m = 50 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.05$ кг
$h = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1$ м
$S = 20 \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3}$ м²
$p_0 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5$ Па

Найти:

Минимальную глубину $H$, на которую нужно опустить стакан, чтобы он утонул.

Решение:

Стакан начнет тонуть, когда выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на него, станет равной силе тяжести стакана. В этот момент стакан будет находиться в состоянии безразличного равновесия и при дальнейшем малейшем погружении утонет.

Условие равновесия сил:

$F_A = F_g$

где $F_A$ — сила Архимеда, а $F_g$ — сила тяжести стакана.

Сила тяжести стакана определяется его массой: $F_g = mg$.

Сила Архимеда действует на объем воздуха, запертого в стакане. Обозначим высоту столба воздуха в стакане на искомой глубине через $x$. Тогда объем сжатого воздуха будет $V_1 = S \cdot x$.

Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = \rho_в g V_1 = \rho_в g S x$.

Приравниваем силы:

$\rho_в g S x = mg$

Отсюда можем найти высоту воздушного столба $x$, при которой стакан начнет тонуть:

$x = \frac{m}{\rho_в S}$

Поскольку процесс погружения медленный и температура воздуха в стакане не изменяется (по условию), процесс сжатия воздуха можно считать изотермическим. Для него справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_0 V_0 = p_1 V_1$

где $p_0, V_0$ — начальное давление и объем воздуха (на поверхности), а $p_1, V_1$ — конечное давление и объем (на глубине).

Начальный объем воздуха в стакане $V_0 = S h$. Конечный объем $V_1 = S x$.

Подставим объемы в закон Бойля-Мариотта:

$p_0 S h = p_1 S x$

Отсюда давление воздуха в стакане на глубине:

$p_1 = p_0 \frac{h}{x}$

Давление воздуха $p_1$ внутри стакана на глубине уравновешивается внешним давлением. Внешнее давление на уровне воды в стакане складывается из атмосферного давления $p_0$ на поверхности озера и гидростатического давления столба воды высотой $H$ (искомая глубина):

$p_1 = p_0 + \rho_в g H$

Теперь объединим полученные уравнения. Подставим выражение для $x$ из условия равновесия сил в формулу для давления $p_1$ из закона Бойля-Мариотта:

$p_1 = p_0 \frac{h}{m / (\rho_в S)} = \frac{p_0 h \rho_в S}{m}$

Приравняем два выражения для $p_1$:

$p_0 + \rho_в g H = \frac{p_0 h \rho_в S}{m}$

Выразим отсюда искомую глубину $H$:

$\rho_в g H = \frac{p_0 h \rho_в S}{m} - p_0$

$H = \frac{p_0}{\rho_в g} \left( \frac{h \rho_в S}{m} - 1 \right)$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$H = \frac{10^5 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м³} \cdot 10 \text{ м/с²}} \left( \frac{0.1 \text{ м} \cdot 1000 \text{ кг/м³} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м²}}{0.05 \text{ кг}} - 1 \right)$

$H = 10 \left( \frac{0.2}{0.05} - 1 \right)$

$H = 10 (4 - 1)$

$H = 10 \cdot 3 = 30$ м

Ответ: минимальная глубина, на которую надо опустить стакан, чтобы он утонул, составляет $30$ м.