Номер 215, страница 47 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

215. Вертикальную трубку, запаянную с одного конца, медленно погружали открытым концом в ртуть до тех пор, пока ее верхний конец не сравнялся с уровнем ртути в сосуде. Определите длину трубки, если длина столба воздуха в трубке, погруженной в ртуть, $l = 30$ см. Атмосферное давление $p_0 = 102$ кПа.

Дано:

$l = 30$ см

$p_0 = 102$ кПа

Перевод в систему СИ:

$l = 0,3$ м

$p_0 = 102 \cdot 10^3$ Па $= 1,02 \cdot 10^5$ Па

Постоянные величины:

Плотность ртути $\rho_{Hg} \approx 13600$ кг/м³

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Процесс погружения трубки медленный, поэтому температуру воздуха внутри трубки можно считать постоянной ($T = const$). Это означает, что для воздуха в трубке выполняется закон Бойля-Мариотта, который связывает давление и объем газа в изотермическом процессе.

Обозначим состояние воздуха в трубке до погружения (начальное состояние) индексом 1, а после погружения (конечное состояние) — индексом 2.

Состояние 1 (до погружения):

Воздух в трубке занимает весь ее объем. Пусть $L$ — полная длина трубки, а $S$ — площадь ее поперечного сечения.

Давление воздуха равно атмосферному: $p_1 = p_0$.

Объем воздуха: $V_1 = S \cdot L$.

Состояние 2 (после погружения):

Трубка погружена так, что ее запаянный конец находится на одном уровне с поверхностью ртути в сосуде. Длина столба воздуха в трубке стала равной $l$.

Объем воздуха: $V_2 = S \cdot l$.

Давление воздуха в трубке $p_2$ теперь уравновешивает давление на уровне поверхности ртути внутри трубки. Этот уровень находится на глубине $l$ от поверхности ртути в сосуде. Давление на этой глубине складывается из атмосферного давления $p_0$ и гидростатического давления столба ртути высотой $l$.

Таким образом, давление воздуха в конечном состоянии: $p_2 = p_0 + \rho_{Hg}gl$.

Применение закона Бойля-Мариотта:

Для изотермического процесса справедливо соотношение: $p_1V_1 = p_2V_2$.

Подставим выражения для давлений и объемов:

$p_0 \cdot (S \cdot L) = (p_0 + \rho_{Hg}gl) \cdot (S \cdot l)$

Площадь поперечного сечения $S$ сокращается:

$p_0 L = (p_0 + \rho_{Hg}gl) l$

Выразим искомую длину трубки $L$:

$L = \frac{(p_0 + \rho_{Hg}gl)l}{p_0}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

Сначала вычислим гидростатическое давление столба ртути высотой $l$:

$\rho_{Hg}gl = 13600 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 0,3 \text{ м} = 40800$ Па.

Теперь подставим это значение в формулу для $L$:

$L = \frac{(102000 \text{ Па} + 40800 \text{ Па}) \cdot 0,3 \text{ м}}{102000 \text{ Па}} = \frac{142800 \text{ Па} \cdot 0,3 \text{ м}}{102000 \text{ Па}}$

$L = \frac{42840}{102000} \text{ м} \approx 0,42$ м.

Переведем результат в сантиметры: $L = 0,42$ м $= 42$ см.

Ответ: длина трубки составляет 42 см.