Номер 211, страница 46 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

211. Трубка, запаянная с одного конца, расположена вертикально открытым концом вверх и частично заполнена ртутью массой $m = 800$ г. Между запаянным концом трубки и ртутью находится столбик воздуха. Когда трубку повернули и расположили ее горизонтально, объем столбика воздуха увеличился на $\eta = 1,6$ %. Определите атмосферное давление, если площадь поперечного сечения трубки $S = 50$ см$^2$. Температуру воздуха считать постоянной.

Дано:

$m = 800 \text{ г}$

$\eta = 1,6 \%$

$S = 50 \text{ см}^2$

$T = \text{const}$

Перевод в СИ:

$m = 800 \text{ г} = 0,8 \text{ кг}$

$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Найти:

$p_a$

Решение:

Поскольку по условию задачи температура воздуха в трубке остается постоянной, процесс изменения его состояния является изотермическим. Следовательно, мы можем применить закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – давление и объем воздуха в начальном (вертикальном) положении, а $p_2$ и $V_2$ – в конечном (горизонтальном) положении.

1. В начальном состоянии, когда трубка расположена вертикально открытым концом вверх, давление воздуха $p_1$ внутри трубки уравновешивает сумму атмосферного давления $p_a$ и давления, создаваемого столбиком ртути $p_{Hg}$.

$p_1 = p_a + p_{Hg}$

Давление столбика ртути можно найти по формуле $p_{Hg} = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S}$, где $m$ – масса ртути, $g$ – ускорение свободного падения (примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$), $S$ – площадь поперечного сечения трубки.

Таким образом, давление в первом состоянии:

$p_1 = p_a + \frac{mg}{S}$

2. В конечном состоянии, когда трубка расположена горизонтально, столбик ртути не оказывает давления на воздух вдоль оси трубки. Давление воздуха $p_2$ в этом случае равно внешнему атмосферному давлению:

$p_2 = p_a$

3. По условию, объем воздуха увеличился на $\eta = 1,6 \%$. Это означает, что новый объем $V_2$ связан со старым объемом $V_1$ следующим соотношением:

$V_2 = V_1 + \frac{\eta}{100}V_1 = V_1(1 + \frac{\eta}{100})$

4. Теперь подставим выражения для $p_1$, $p_2$ и $V_2$ в уравнение закона Бойля-Мариотта:

$(p_a + \frac{mg}{S})V_1 = p_a \cdot V_1(1 + \frac{\eta}{100})$

Сократим объем $V_1$ в обеих частях уравнения:

$p_a + \frac{mg}{S} = p_a(1 + \frac{\eta}{100})$

$p_a + \frac{mg}{S} = p_a + p_a\frac{\eta}{100}$

Вычтем $p_a$ из обеих частей:

$\frac{mg}{S} = p_a\frac{\eta}{100}$

Отсюда выразим искомое атмосферное давление $p_a$:

$p_a = \frac{100mg}{S\eta}$

5. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$p_a = \frac{100 \cdot 0,8 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 1,6} = \frac{784}{8 \cdot 10^{-3}} \text{ Па} = 98000 \text{ Па}$

Переведем результат в килопаскали:

$98000 \text{ Па} = 98 \text{ кПа}$

Ответ: атмосферное давление равно $98000 \text{ Па}$ или $98 \text{ кПа}$.