Номер 204, страница 44 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

204. В закрытом горизонтальном цилиндрическом сосуде закреплен невесомый гладкий поршень, делящий сосуд на два отсека. Давление и объем идеального газа в отсеках равны $p_1$, $V_1$ и $p_2$, $V_2$ соответственно. Определите установившееся давление газа в отсеках после освобождения поршня. Температуру газа считать постоянной.

Дано:

Начальное давление в первом отсеке: $p_1$

Начальный объем первого отсека: $V_1$

Начальное давление во втором отсеке: $p_2$

Начальный объем второго отсека: $V_2$

Температура газа постоянна: $T = \text{const}$

Найти:

Установившееся давление в отсеках: $p$

Решение:

Поскольку процесс происходит при постоянной температуре, для идеального газа в каждом из отсеков выполняется закон Бойля–Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем остается постоянным:

$p \cdot V = \text{const}$

После освобождения поршень будет двигаться до тех пор, пока силы, действующие на него с обеих сторон, не уравновесятся. Так как поршень гладкий и невесомый, это произойдет, когда давления газа в обоих отсеках станут равными. Обозначим это конечное, установившееся давление как $p$.

Пусть $V'_1$ и $V'_2$ — конечные объемы газа в первом и втором отсеках соответственно. Тогда для каждого отсека можно записать уравнение изотермического процесса:

Для первого отсека: $p_1 V_1 = p V'_1$

Для второго отсека: $p_2 V_2 = p V'_2$

Из этих уравнений можно выразить конечные объемы:

$V'_1 = \frac{p_1 V_1}{p}$

$V'_2 = \frac{p_2 V_2}{p}$

Сосуд является закрытым, поэтому его общий объем остается неизменным. Общий объем равен сумме объемов отсеков до и после перемещения поршня:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = V'_1 + V'_2$

Подставим выражения для $V'_1$ и $V'_2$ в уравнение сохранения объема:

$V_1 + V_2 = \frac{p_1 V_1}{p} + \frac{p_2 V_2}{p}$

Вынесем общий множитель $1/p$ за скобки в правой части:

$V_1 + V_2 = \frac{1}{p} (p_1 V_1 + p_2 V_2)$

Теперь выразим из этого уравнения конечное давление $p$:

$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Ответ: установившееся давление газа в отсеках будет равно $p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$.