Номер 202, страница 44 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

202. Цилиндр разделен на два равных отсека закрепленной перегородкой с отверстием, закрытым пробкой (рис. 27). В обоих отсеках содержится одинаковый идеальный газ под давлением $p$. Пробка вылетает, когда перепад давлений в отсеках равен $\Delta p$. Поршень медленно вытягивают из цилиндра и прекращают его движение, когда пробка вылетает из отверстия. Определите конечное установившееся давление газа в цилиндре. Температура газа постоянна.

Рис. 27

Дано:

Начальное давление в каждом отсеке - $p$

Перепад давлений для вылета пробки - $\Delta p$

Температура газа постоянна - $T = \text{const}$

Найти:

Конечное установившееся давление газа - $p_к$

Решение:

Обозначим начальный объем каждого из двух равных отсеков как $V_0$.

В начальном состоянии в левом отсеке (назовем его отсек 1) газ имеет давление $p$ и объем $V_0$. В правом отсеке (отсек 2) газ также имеет давление $p$ и объем $V_0$.

Процесс вытягивания поршня является изотермическим, так как температура газа поддерживается постоянной. Следовательно, для газа в каждом отсеке (пока пробка не вылетела) будет выполняться закон Бойля-Мариотта: $pV = \text{const}$.

Когда поршень медленно вытягивают, объем правого отсека (отсек 2) увеличивается, а давление в нем падает. Объем левого отсека (отсек 1) остается неизменным ($V_1 = V_0$), и, поскольку газ из него не уходит, давление в нем также остается постоянным: $p_1 = p$.

Пусть в момент, когда пробка вылетает, объем правого отсека стал $V_2$, а давление в нем — $p_2$. Согласно условию, пробка вылетает, когда перепад давлений достигает $\Delta p$. Так как давление в отсеке 1 выше, чем в отсеке 2, имеем:

$p_1 - p_2 = \Delta p$

Подставляя $p_1 = p$, получаем давление в правом отсеке в этот момент:

$p - p_2 = \Delta p \implies p_2 = p - \Delta p$

Теперь, применив закон Бойля-Мариотта для газа в правом отсеке, найдем его объем $V_2$ в этот момент. Начальное состояние: ($p, V_0$), конечное: ($p_2, V_2$).

$p V_0 = p_2 V_2$

$p V_0 = (p - \Delta p) V_2$

Отсюда находим объем $V_2$:

$V_2 = \frac{p V_0}{p - \Delta p}$

В момент, когда пробка вылетела, движение поршня прекращается. Газ из двух отсеков смешивается и занимает весь доступный объем цилиндра, который равен сумме объемов двух отсеков:

$V_к = V_1 + V_2 = V_0 + \frac{p V_0}{p - \Delta p}$

Упростим выражение для конечного объема:

$V_к = V_0 \left(1 + \frac{p}{p - \Delta p}\right) = V_0 \left(\frac{p - \Delta p + p}{p - \Delta p}\right) = V_0 \frac{2p - \Delta p}{p - \Delta p}$

Теперь рассмотрим всю систему (газ из обоих отсеков) в целом. В начальном состоянии весь газ занимал объем $V_{\text{нач}} = V_0 + V_0 = 2V_0$ при давлении $p$. В конечном состоянии весь этот газ занимает объем $V_к$ при некотором конечном давлении $p_к$. Так как процесс для всей массы газа также можно считать изотермическим, применим закон Бойля-Мариотта для всего газа:

$p V_{\text{нач}} = p_к V_к$

$p (2V_0) = p_к \left(V_0 \frac{2p - \Delta p}{p - \Delta p}\right)$

Сократим $V_0$ и выразим конечное давление $p_к$:

$2p = p_к \frac{2p - \Delta p}{p - \Delta p}$

$p_к = \frac{2p(p - \Delta p)}{2p - \Delta p}$

Ответ: $p_к = \frac{2p(p - \Delta p)}{2p - \Delta p}$.