Номер 197, страница 42 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

197. Мальчик пьет лимонад из стеклянной бутылки, плотно прижав ее горлышко к губам. Емкость бутылки $V = 0,50 \text{ л}$. Вначале в бутылке находилось $V_1 = 0,23 \text{ л}$ лимонада. Определите объем лимонада, выпитого мальчиком, если

давление воздуха в бутылке понизилось на $|\Delta p| = 10 \text{ кПа}$. Атмосферное давление $p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Температура воздуха в бутылке не изменяется.

Дано

$V = 0,50 \text{ л} = 0,50 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$V_1 = 0,23 \text{ л} = 0,23 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$|\Delta p| = 10 \text{ кПа} = 10 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^4 \text{ Па}$
$p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$
$T = \text{const}$

Найти:

$\Delta V_л$ — объем выпитого лимонада.

Решение

Поскольку мальчик плотно прижал горлышко бутылки к губам, воздух извне не поступает внутрь. Процесс расширения воздуха в бутылке при питье лимонада происходит при постоянной температуре ($T = \text{const}$), следовательно, этот процесс является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_{\text{воздуха}, 1} = p_2 V_{\text{воздуха}, 2}$

Здесь $p_1$ и $V_{\text{воздуха}, 1}$ — начальные давление и объем воздуха в бутылке, а $p_2$ и $V_{\text{воздуха}, 2}$ — конечные.

В начальном состоянии давление воздуха в бутылке равно атмосферному:

$p_1 = p_0 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Начальный объем воздуха в бутылке равен разности общего объема бутылки и объема лимонада в ней:

$V_{\text{воздуха}, 1} = V - V_1$

В конечном состоянии давление воздуха понизилось на $|\Delta p|$:

$p_2 = p_0 - |\Delta p|$

Конечный объем воздуха $V_{\text{воздуха}, 2}$ увеличился на объем выпитого лимонада $\Delta V_л$:

$V_{\text{воздуха}, 2} = V_{\text{воздуха}, 1} + \Delta V_л = (V - V_1) + \Delta V_л$

Подставим все выражения в закон Бойля-Мариотта:

$p_0 (V - V_1) = (p_0 - |\Delta p|) \cdot ((V - V_1) + \Delta V_л)$

Выразим из этого уравнения искомый объем выпитого лимонада $\Delta V_л$:

$(V - V_1) + \Delta V_л = \frac{p_0 (V - V_1)}{p_0 - |\Delta p|}$

$\Delta V_л = \frac{p_0 (V - V_1)}{p_0 - |\Delta p|} - (V - V_1)$

$\Delta V_л = (V - V_1) \left( \frac{p_0}{p_0 - |\Delta p|} - 1 \right) = (V - V_1) \frac{p_0 - (p_0 - |\Delta p|)}{p_0 - |\Delta p|} = (V - V_1) \frac{|\Delta p|}{p_0 - |\Delta p|}$

Теперь подставим числовые значения:

$\Delta V_л = (0,50 \cdot 10^{-3} - 0,23 \cdot 10^{-3}) \cdot \frac{10^4}{1,0 \cdot 10^5 - 10^4} = 0,27 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{10^4}{0,9 \cdot 10^5} = 0,27 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1}{9} = 0,03 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Переведем результат в литры:

$0,03 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,03 \text{ л}$

Ответ: объем выпитого мальчиком лимонада составляет $0,03$ л.