Номер 199, страница 43 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

199. В горизонтальной цилиндрической трубке радиусом $r=1,0$ см, закрытой с одного конца пробкой, а с другого — поршнем, находится воздух под давлением $p_1=100$ кПа. Расстояние между пробкой и поршнем $l=25$ см. Поршень начали медленно вдвигать в трубку. Когда его передвинули на расстояние $\Delta l = 8,1$ см, пробка вылетела. Определите модуль максимальной силы трения покоя, действующей на пробку, если атмосферное давление $p_0=100$ кПа.

Дано:

$r = 1,0 \text{ см}$

$p_1 = 100 \text{ кПа}$

$l = 25 \text{ см}$

$\Delta l = 8,1 \text{ см}$

$p_0 = 100 \text{ кПа}$

Перевод в систему СИ:

$r = 0,01 \text{ м}$

$p_1 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

$l = 0,25 \text{ м}$

$\Delta l = 0,081 \text{ м}$

$p_0 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$F_{\text{тр.покоя.max}} - ?$

Решение:

Поскольку поршень двигали медленно, процесс сжатия воздуха в трубке можно считать изотермическим, то есть происходящим при постоянной температуре ($T = \text{const}$). Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – начальное давление и объем воздуха, а $p_2$ и $V_2$ – конечное давление и объем воздуха в момент, когда пробка готова вылететь.

Объемы воздуха до и после сжатия определяются через площадь поперечного сечения трубки $S$ и расстояние между поршнем и пробкой.

Площадь поперечного сечения трубки:

$S = \pi r^2$

Начальный объем воздуха:

$V_1 = S \cdot l = \pi r^2 l$

Когда поршень передвинули на расстояние $\Delta l$, расстояние между ним и пробкой стало $l_2 = l - \Delta l$.

Конечный объем воздуха:

$V_2 = S \cdot (l - \Delta l) = \pi r^2 (l - \Delta l)$

Подставим выражения для объемов в закон Бойля-Мариотта:

$p_1 \pi r^2 l = p_2 \pi r^2 (l - \Delta l)$

Отсюда можем выразить конечное давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \frac{l}{l - \Delta l}$

Пробка вылетает в тот момент, когда сила давления сжатого воздуха изнутри ($F_{\text{внутр}}$) становится равной сумме силы атмосферного давления снаружи ($F_{\text{внеш}}$) и максимальной силы трения покоя ($F_{\text{тр.покоя.max}}$), действующей на пробку.

$F_{\text{внутр}} = F_{\text{внеш}} + F_{\text{тр.покоя.max}}$

Силы давления равны произведению давления на площадь поперечного сечения пробки, которая равна площади сечения трубки $S$.

$F_{\text{внутр}} = p_2 S$

$F_{\text{внеш}} = p_0 S$

Тогда уравнение равновесия сил примет вид:

$p_2 S = p_0 S + F_{\text{тр.покоя.max}}$

Выразим отсюда искомую силу трения:

$F_{\text{тр.покоя.max}} = p_2 S - p_0 S = (p_2 - p_0)S$

Подставим в это выражение формулу для $p_2$ и $S$:

$F_{\text{тр.покоя.max}} = \left(p_1 \frac{l}{l - \Delta l} - p_0\right) \pi r^2$

Так как по условию $p_1 = p_0$, можно упростить выражение:

$F_{\text{тр.покоя.max}} = p_0 \left(\frac{l}{l - \Delta l} - 1\right) \pi r^2 = p_0 \left(\frac{l - (l - \Delta l)}{l - \Delta l}\right) \pi r^2 = p_0 \frac{\Delta l}{l - \Delta l} \pi r^2$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$F_{\text{тр.покоя.max}} = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{0,081 \text{ м}}{0,25 \text{ м} - 0,081 \text{ м}} \cdot \pi \cdot (0,01 \text{ м})^2$

$F_{\text{тр.покоя.max}} = 10^5 \cdot \frac{0,081}{0,169} \cdot \pi \cdot 10^{-4} \text{ Н}$

$F_{\text{тр.покоя.max}} = 10 \cdot \frac{0,081}{0,169} \cdot \pi \text{ Н} \approx 10 \cdot 0,4793 \cdot 3,1416 \text{ Н} \approx 15,06 \text{ Н}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как радиус дан с точностью до двух значащих цифр.

Ответ: $F_{\text{тр.покоя.max}} \approx 15 \text{ Н}.$