Номер 205, страница 44 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

205. Компрессор засасывает из атмосферы воздух и подает его в баллон объемом $V = 120$ л со скоростью $V_{\tau} = 4,0 \frac{\text{л}}{\text{с}}$. Определите, через какое время давление воздуха в баллоне станет в $\alpha = 9,0$ раза больше атмосферного. Начальным давлением воздуха в баллоне пренебречь. Температура воздуха постоянна.

Дано:

Объем баллона, $V = 120$ л

Объемная скорость подачи воздуха, $V_{\tau} = 4,0 \frac{л}{с}$

Отношение конечного давления к атмосферному, $\alpha = \frac{p_2}{p_{атм}} = 9,0$

Температура постоянна, $T = \text{const}$

Начальным давлением в баллоне пренебрегаем, $p_1 \approx 0$

В систему СИ:
$V = 120 \cdot 10^{-3} м^3 = 0,12 м^3$
$V_{\tau} = 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{м^3}{с}$

Найти:

Время накачки баллона, $t$

Решение:

Компрессор засасывает воздух при атмосферном давлении $p_{атм}$ и нагнетает его в баллон. За время $t$ компрессор подаст в баллон объем воздуха $V_{атм}$, который при атмосферном давлении равен:

$V_{атм} = V_{\tau} \cdot t$

Этот объем воздуха $V_{атм}$ при давлении $p_{атм}$ сжимается до объема баллона $V$, и его давление становится равным $p_2$.

Поскольку температура воздуха в процессе остается постоянной ($T = \text{const}$), мы можем применить закон Бойля-Мариотта к массе воздуха, которую закачали в баллон. Начальное состояние этой массы воздуха: давление $p_{атм}$ и объем $V_{атм}$. Конечное состояние: давление $p_2$ и объем $V$.

$p_{атм} \cdot V_{атм} = p_2 \cdot V$

Подставим в это уравнение выражение для $V_{атм}$:

$p_{атм} \cdot (V_{\tau} \cdot t) = p_2 \cdot V$

По условию задачи, конечное давление в баллоне $p_2$ в $\alpha$ раз больше атмосферного:

$p_2 = \alpha \cdot p_{атм}$

Подставим это соотношение в предыдущую формулу:

$p_{атм} \cdot V_{\tau} \cdot t = (\alpha \cdot p_{атм}) \cdot V$

Сократим обе части уравнения на $p_{атм}$:

$V_{\tau} \cdot t = \alpha \cdot V$

Отсюда выразим искомое время $t$:

$t = \frac{\alpha \cdot V}{V_{\tau}}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно использовать исходные единицы (литры и литры в секунду), так как они сократятся:

$t = \frac{9,0 \cdot 120 \text{ л}}{4,0 \text{ л/с}} = \frac{1080}{4,0} \text{ с} = 270 \text{ с}$

Можно также перевести время в минуты: $270 \text{ с} = 4,5 \text{ мин}$.

Ответ: $t = 270$ с.