Номер 206, страница 44 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

206. Камеру футбольного мяча вместимостью $V = 4,0$ л накачивают поршневым насосом до давления $p = 150$ кПа. Сколько ходов потребуется сделать поршню насоса, если при каждом ходе он засасывает $V_0 = 200$ см^3 воздуха? Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа. Первоначально камера мяча была пустой. Изменением температуры воздуха пренебречь.

Дано:

Вместимость камеры мяча: $V = 4,0 \text{ л} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Конечное давление в камере: $p = 150 \text{ кПа} = 150 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Объем воздуха, засасываемый насосом за один ход: $V_0 = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Атмосферное давление: $p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Температура воздуха постоянна: $T = \text{const}$

Найти:

Число ходов поршня насоса: $N$

Решение:

По условию задачи, изменением температуры воздуха можно пренебречь, следовательно, процесс накачивания мяча является изотермическим ($T = \text{const}$). Для газа, который закачивается в мяч, можно применить закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная: $p_1V_1 = p_2V_2$.

За один ход поршень насоса засасывает объем воздуха $V_0$ при атмосферном давлении $p_0$. Пусть для накачивания мяча потребовалось сделать $N$ ходов. Тогда суммарный объем воздуха, взятого из атмосферы, равен $V_{atm} = N \cdot V_0$. Весь этот воздух находился при атмосферном давлении $p_0$.

Поскольку первоначально камера мяча была пустой, то весь воздух, закачанный насосом, в конечном итоге оказывается внутри мяча, где он занимает объем $V$ и создает давление $p$.

Применим закон Бойля-Мариотта к общей массе воздуха, перемещенного из атмосферы в мяч. Начальное состояние этого воздуха (в атмосфере): давление $p_0$ и объем $V_{atm}$. Конечное состояние (внутри мяча): давление $p$ и объем $V$.

Запишем уравнение на основе закона Бойля-Мариотта:

$p_0 \cdot V_{atm} = p \cdot V$

Подставим в это уравнение выражение для $V_{atm}$:

$p_0 \cdot (N \cdot V_0) = p \cdot V$

Из полученного соотношения выразим искомое число ходов $N$:

$N = \frac{p \cdot V}{p_0 \cdot V_0}$

Теперь подставим числовые значения величин в полученную формулу, предварительно убедившись, что все они в системе СИ:

$N = \frac{150 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{100 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = \frac{150 \cdot 4,0}{100 \cdot 2,0 \cdot 10^{-1}} = \frac{600}{20} = 30$

Таким образом, для накачивания мяча до заданного давления потребуется 30 ходов поршня.

Ответ: 30.