Номер 208, страница 45 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

208. В вертикальном цилиндрическом сосуде площадью поперечного сечения $S$ под невесомым гладким поршнем находятся воздух и резиновый шарик объемом $V$. В шарике содержится воздух, давление которого равно $p$. На сколько сместится поршень, если шарик лопнет? Атмосферное давление равно $p_0$, причем $p_0 < p$. Температура воздуха в сосуде неизменна.

Дано:

Площадь поперечного сечения сосуда: $S$

Объем резинового шарика: $V$

Давление воздуха в шарике: $p$

Атмосферное давление: $p_0$

Температура воздуха в сосуде: $T = \text{const}$

Условие: $p > p_0$

Поршень невесомый и гладкий.

Найти:

Смещение поршня: $\Delta h$

Решение:

Рассмотрим систему в двух состояниях: до того, как шарик лопнул (начальное состояние), и после (конечное состояние). Так как поршень невесомый и гладкий, он находится в равновесии, когда давление газа под ним равно внешнему атмосферному давлению $p_0$. Это справедливо для обоих состояний.

В начальном состоянии под поршнем находятся две порции воздуха: воздух в шарике (объем $V$, давление $p$) и воздух в остальной части сосуда (обозначим его объем $V_{воздуха1}$, его давление равно $p_0$). Общий объем под поршнем в начальном состоянии $V_1$ равен сумме объема воздуха в сосуде и объема самого шарика:

$V_1 = V_{воздуха1} + V$

В конечном состоянии шарик лопается, и воздух из него смешивается с воздухом, который был в сосуде. Вся смесь занимает новый общий объем $V_2$ при давлении $p_0$.

Поскольку процесс происходит при постоянной температуре ($T = \text{const}$), мы можем применить закон Бойля-Мариотта ($PV = \text{const}$) к каждой из порций газа, чтобы определить, какой объем они займут в конечном состоянии.

Конечный общий объем $V_2$ будет равен сумме объемов, которые заняли бы обе начальные порции газа, если бы давление каждой из них стало равным $p_0$.

Для воздуха, который был вне шарика, давление не изменилось ($p_0$), поэтому его объем остался $V_{воздуха1}$.

Для воздуха, который был внутри шарика, начальные параметры ($p, V$). После того как он расширится до давления $p_0$, его новый объем $V'_{шарика}$ можно найти из закона Бойля-Мариотта:

$p \cdot V = p_0 \cdot V'_{шарика}$

Отсюда, объем, который займет воздух из шарика при давлении $p_0$:

$V'_{шарика} = V \frac{p}{p_0}$

Таким образом, конечный общий объем $V_2$ под поршнем будет равен сумме этих объемов:

$V_2 = V_{воздуха1} + V'_{шарика} = V_{воздуха1} + V \frac{p}{p_0}$

Изменение объема под поршнем $\Delta V$ равно разности конечного и начального объемов:

$\Delta V = V_2 - V_1 = (V_{воздуха1} + V \frac{p}{p_0}) - (V_{воздуха1} + V)$

$\Delta V = V \frac{p}{p_0} - V = V (\frac{p}{p_0} - 1) = V \frac{p - p_0}{p_0}$

Так как по условию $p > p_0$, то $\Delta V > 0$, что означает увеличение объема и, следовательно, подъем поршня вверх.

Смещение поршня $\Delta h$ связано с изменением объема $\Delta V$ и площадью поперечного сечения сосуда $S$ следующим соотношением:

$\Delta V = S \cdot \Delta h$

Отсюда выразим искомое смещение поршня:

$\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{V(p - p_0)}{S p_0}$

Ответ:

Поршень сместится вверх на расстояние $\Delta h = \frac{V(p - p_0)}{S p_0}$.