Номер 210, страница 45 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

210. Стеклянная вертикальная трубка была наполовину погружена в ртуть. Верхнее отверстие трубки закрывают и вынимают ее из ртути. При этом часть ртути выливается. Длина столбика ртути, оставшейся в трубке, $l_1 = 25$ см. Атмосферное давление $p_0 = 102$ кПа. Определите длину трубки, если температура воздуха в ней остается постоянной.

Дано:

$l_1 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$p_0 = 102 \text{ кПа} = 102 \cdot 10^3 \text{ Па}$

$T = \text{const}$

Плотность ртути $\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g = 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$L$ — ?

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке.

Состояние 1: Трубка наполовину погружена в ртуть, верхнее отверстие открыто.Пусть $L$ – полная длина трубки, а $S$ – площадь ее поперечного сечения. Объем воздуха в трубке равен половине объема трубки: $V_1 = S \frac{L}{2}$.Поскольку трубка открыта, давление воздуха в ней равно атмосферному давлению: $p_1 = p_0$.

Состояние 2: Верхнее отверстие трубки закрыто, и ее вынимают из ртути. В трубке остается столбик ртути высотой $l_1$.Объем воздуха над ртутью теперь составляет $V_2 = S (L - l_1)$.Давление воздуха $p_2$ в этом объеме можно найти из условия равновесия столбика ртути. На верхнюю поверхность ртути действует давление воздуха $p_2$, а также сила тяжести столбика ртути. Снизу на столбик ртути действует атмосферное давление $p_0$.Условие равновесия в давлениях: $p_0 = p_2 + p_{рт}$, где $p_{рт}$ – гидростатическое давление столбика ртути.$p_{рт} = \rho g l_1$.Отсюда находим давление воздуха в трубке: $p_2 = p_0 - \rho g l_1$.

Поскольку температура воздуха в трубке остается постоянной, процесс перехода из состояния 1 в состояние 2 является изотермическим. Следовательно, к нему применим закон Бойля-Мариотта:$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Подставим выражения для давлений и объемов:

$p_0 \cdot S \frac{L}{2} = (p_0 - \rho g l_1) \cdot S (L - l_1)$

Площадь поперечного сечения $S$ сокращается:

$\frac{p_0 L}{2} = (p_0 - \rho g l_1) (L - l_1)$

Раскроем скобки и выразим длину трубки $L$:

$\frac{p_0 L}{2} = p_0 L - p_0 l_1 - \rho g l_1 L + \rho g l_1^2$

$p_0 l_1 - \rho g l_1^2 = p_0 L - \frac{p_0 L}{2} - \rho g l_1 L$

$l_1 (p_0 - \rho g l_1) = L (p_0 - \frac{p_0}{2} - \rho g l_1)$

$l_1 (p_0 - \rho g l_1) = L (\frac{p_0}{2} - \rho g l_1)$

$L = \frac{l_1 (p_0 - \rho g l_1)}{\frac{p_0}{2} - \rho g l_1}$

Произведем вычисления. Сначала найдем давление столбика ртути:

$p_{рт} = \rho g l_1 = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.25 \text{ м} = 33320 \text{ Па}$

Теперь подставим все значения в формулу для $L$:

$L = \frac{0.25 \text{ м} \cdot (102000 \text{ Па} - 33320 \text{ Па})}{\frac{102000 \text{ Па}}{2} - 33320 \text{ Па}} = \frac{0.25 \cdot 68680}{51000 - 33320} = \frac{17170}{17680} \approx 0.971 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.971 \text{ м} = 97.1 \text{ см}$.

Ответ: Длина трубки составляет примерно 97.1 см.