Номер 207, страница 45 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

207. Чтобы уменьшить давление воздуха в сосуде объемом $V = 4,0$ л, насосом было проведено $n = 4$ качания. Определите конечное давление воздуха в сосуде, если начальное давление в нем $p_0 = 100$ кПа. Объем цилиндра насоса $V_0 = 1,0$ л. Температуру воздуха считать постоянной.

Дано:

Объем сосуда $V = 4,0$ л

Объем цилиндра насоса $V_0 = 1,0$ л

Начальное давление $p_0 = 100$ кПа

Число качаний $n = 4$

Температура $T = \text{const}$

$V = 4,0 \text{ л} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$V_0 = 1,0 \text{ л} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Конечное давление воздуха в сосуде $p_n$.

Решение:

По условию задачи, температура воздуха остается постоянной ($T = \text{const}$), следовательно, процесс откачки воздуха является изотермическим. Для такого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта: $pV = \text{const}$.

Рассмотрим процесс откачки по шагам (качаниям).

Пусть перед первым качанием давление в сосуде объемом $V$ было $p_0$.

1. После первого качания:
Воздух из сосуда объемом $V$ расширяется, занимая дополнительно объем цилиндра насоса $V_0$. Общий объем становится $V + V_0$. Давление при этом уменьшается до $p_1$. По закону Бойля-Мариотта:

$p_0 V = p_1 (V + V_0)$

Отсюда давление после первого качания:

$p_1 = p_0 \frac{V}{V + V_0}$

После этого насос удаляет воздух из своего цилиндра, и в сосуде остается воздух под давлением $p_1$.

2. После второго качания:
Процесс повторяется. Теперь воздух в сосуде, находящийся под давлением $p_1$, снова расширяется в объем $V + V_0$, и давление становится $p_2$.

$p_1 V = p_2 (V + V_0)$

$p_2 = p_1 \frac{V}{V + V_0}$

Подставив выражение для $p_1$, получим:

$p_2 = \left(p_0 \frac{V}{V + V_0}\right) \frac{V}{V + V_0} = p_0 \left(\frac{V}{V + V_0}\right)^2$

3. После n-го качания:
Обобщая полученную закономерность, можно записать формулу для давления $p_n$ после $n$ качаний:

$p_n = p_0 \left(\frac{V}{V + V_0}\right)^n$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи ($n=4$):

$p_4 = p_0 \left(\frac{V}{V + V_0}\right)^4$

Поскольку в формуле используется отношение объемов, можно выполнять вычисления, не переводя литры в кубические метры, а давление оставить в килопаскалях.

$p_4 = 100 \text{ кПа} \cdot \left(\frac{4,0 \text{ л}}{4,0 \text{ л} + 1,0 \text{ л}}\right)^4 = 100 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 100 \cdot (0,8)^4$

Вычислим $(0,8)^4$:

$(0,8)^2 = 0,64$

$(0,8)^4 = (0,8^2)^2 = (0,64)^2 = 0,4096$

Тогда конечное давление:

$p_4 = 100 \cdot 0,4096 = 40,96 \text{ кПа}$

Ответ: конечное давление воздуха в сосуде составит $40,96$ кПа.