Номер 214, страница 46 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

214. Вертикальную трубку длиной $l = 76$ см, запаянную с одного конца, медленно погружают открытым концом в сосуд с ртутью. На каком расстоянии от поверхности ртути в сосуде должен находиться запаянный конец трубки, чтобы уровень ртути в ней был ниже уровня ртути в сосуде на $\Delta h = 7,6$ см? Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа.

Дано:

Длина трубки, $l = 76$ см

Разность уровней ртути, $\Delta h = 7,6$ см

Атмосферное давление, $p_0 = 100$ кПа

Плотность ртути, $\rho_{рт} \approx 13600$ кг/м$^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,76$ м

$\Delta h = 0,076$ м

$p_0 = 100 \times 10^3$ Па

Найти:

Расстояние от поверхности ртути в сосуде до запаянного конца трубки, $H$

Решение:

Процесс погружения трубки является медленным, поэтому температуру воздуха внутри трубки можно считать постоянной (процесс изотермический). Это позволяет нам применить закон Бойля-Мариотта: $p V = \text{const}$.

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке:

1. Начальное состояние (до погружения в ртуть):

Давление воздуха в трубке равно атмосферному: $p_1 = p_0$.

Объем воздуха равен всему объему трубки: $V_1 = S \cdot l$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки.

2. Конечное состояние (после погружения):

Пусть $l'$ - это длина столбика воздуха в трубке после погружения. Тогда новый объем воздуха $V_2 = S \cdot l'$.

Давление воздуха в трубке $p_2$ будет больше атмосферного. Оно уравновешивает сумму атмосферного давления $p_0$ и гидростатического давления столба ртути высотой $\Delta h$. Давление на уровне поверхности ртути внутри трубки равно:

$p_2 = p_0 + \rho_{рт} g \Delta h$

Применяем закон Бойля-Мариотта $p_1 V_1 = p_2 V_2$:

$p_0 \cdot (S \cdot l) = (p_0 + \rho_{рт} g \Delta h) \cdot (S \cdot l')$

Площадь сечения $S$ сокращается:

$p_0 \cdot l = (p_0 + \rho_{рт} g \Delta h) \cdot l'$

Отсюда выразим длину воздушного столба $l'$:

$l' = \frac{p_0 l}{p_0 + \rho_{рт} g \Delta h}$

Для упрощения вычислений выразим атмосферное давление $p_0$ через высоту эквивалентного столба ртути $h_0$:

$p_0 = \rho_{рт} g h_0 \Rightarrow h_0 = \frac{p_0}{\rho_{рт} g}$

$h_0 = \frac{100 \times 10^3 \text{ Па}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} \approx 0,750 \text{ м} = 75,0$ см

Теперь формулу для $l'$ можно переписать, используя высоты ртутного столба:

$l' = \frac{(\rho_{рт} g h_0) \cdot l}{\rho_{рт} g h_0 + \rho_{рт} g \Delta h} = \frac{h_0 l}{h_0 + \Delta h}$

Подставим числовые значения в сантиметрах:

$l' = \frac{75,0 \text{ см} \cdot 76 \text{ см}}{75,0 \text{ см} + 7,6 \text{ см}} = \frac{5700 \text{ см}^2}{82,6 \text{ см}} \approx 69,0$ см

Искомое расстояние $H$ — это расстояние от поверхности ртути в сосуде до запаянного конца трубки. Длина воздушного столба $l'$ равна сумме этого расстояния $H$ и разности уровней $\Delta h$ (поскольку уровень ртути в трубке ниже, чем в сосуде, запаянный конец трубки находится выше уровня ртути в трубке на расстояние $l'$).

Таким образом, $l' = H + \Delta h$.

Отсюда находим $H$:

$H = l' - \Delta h$

$H \approx 69,0 \text{ см} - 7,6 \text{ см} = 61,4$ см

Ответ: запаянный конец трубки должен находиться на расстоянии 61,4 см от поверхности ртути в сосуде.