Номер 219, страница 47 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

219. В длинной горизонтальной трубке, открытой с одного конца, столбик воздуха длиной $l_0 = 16$ см заперт столбиком ртути длиной $h = 20$ см. Трубку приводят во вращение вокруг вертикальной оси, проходящей через ее закрытый конец. Определите угловую скорость вращения, при которой столбик ртути сместится на $\Delta l = 4$ см. Атмосферное давление $p_0 = 102$ кПа.

Дано:

$l_0 = 16$ см

$h = 20$ см

$\Delta l = 4$ см

$p_0 = 102$ кПа

$l_0 = 0.16$ м
$h = 0.20$ м
$\Delta l = 0.04$ м
$p_0 = 102 \cdot 10^3$ Па
Плотность ртути $\rho = 13600$ кг/м$^3$ (справочное значение)

Найти:

$\omega$

Решение:

В начальном состоянии, когда трубка покоится, давление запертого воздуха $p_1$ равно атмосферному давлению $p_0$, так как трубка расположена горизонтально. Начальный объем воздуха $V_1 = S l_0$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

При вращении трубки вокруг оси, проходящей через ее закрытый конец, на столбик ртути действует центробежная сила, которая смещает его наружу, в сторону от оси вращения. В результате этого смещения столб воздуха расширяется. Его новая длина становится $l_2 = l_0 + \Delta l$, а новый объем $V_2 = S \cdot (l_0 + \Delta l)$.

Будем считать процесс расширения воздуха изотермическим (температура не меняется). Тогда по закону Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

$p_0 S l_0 = p_2 S (l_0 + \Delta l)$

Отсюда можно выразить давление воздуха $p_2$ в конечном состоянии:

$p_2 = p_0 \frac{l_0}{l_0 + \Delta l}$

Рассмотрим силы, действующие на столбик ртути в неинерциальной системе отсчета, вращающейся вместе с трубкой. В этой системе столбик ртути находится в равновесии. На него действуют три силы в горизонтальном направлении:

1. Сила давления со стороны запертого воздуха $F_{возд} = p_2 S$, направленная от оси вращения.

2. Сила атмосферного давления $F_{атм} = p_0 S$, направленная к оси вращения.

3. Центробежная сила инерции $F_{цб}$, направленная от оси вращения.

Условие равновесия столбика ртути:

$F_{возд} + F_{цб} = F_{атм}$

$F_{цб} = F_{атм} - F_{возд} = (p_0 - p_2)S$

Центробежная сила, действующая на протяженный столбик ртути, вычисляется по формуле $F_{цб} = m \omega^2 r_{ц.м.}$, где $m$ - масса столбика ртути, $\omega$ - угловая скорость вращения, а $r_{ц.м.}$ - расстояние от оси вращения до центра масс столбика ртути.

Масса столбика ртути: $m = \rho V_{рт} = \rho S h$.

Столбик ртути в конечном положении находится между расстояниями $r_1 = l_2 = l_0 + \Delta l$ и $r_2 = l_2 + h = l_0 + \Delta l + h$ от оси вращения. Его центр масс расположен посередине:

$r_{ц.м.} = \frac{r_1 + r_2}{2} = l_2 + \frac{h}{2} = l_0 + \Delta l + \frac{h}{2}$

Тогда центробежная сила равна:

$F_{цб} = (\rho S h) \omega^2 (l_0 + \Delta l + \frac{h}{2})$

Приравняем два выражения для центробежной силы:

$(\rho S h) \omega^2 (l_0 + \Delta l + \frac{h}{2}) = (p_0 - p_2)S$

Подставим выражение для $p_2$ и сократим площадь $S$:

$\rho h \omega^2 (l_0 + \Delta l + \frac{h}{2}) = p_0 - p_0 \frac{l_0}{l_0 + \Delta l} = p_0 \left(1 - \frac{l_0}{l_0 + \Delta l}\right)$

$\rho h \omega^2 (l_0 + \Delta l + \frac{h}{2}) = p_0 \left(\frac{l_0 + \Delta l - l_0}{l_0 + \Delta l}\right) = p_0 \frac{\Delta l}{l_0 + \Delta l}$

Выразим отсюда угловую скорость $\omega$:

$\omega^2 = \frac{p_0 \Delta l}{\rho h (l_0 + \Delta l) (l_0 + \Delta l + \frac{h}{2})}$

$\omega = \sqrt{\frac{p_0 \Delta l}{\rho h (l_0 + \Delta l) (l_0 + \Delta l + \frac{h}{2})}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\omega = \sqrt{\frac{102 \cdot 10^3 \cdot 0.04}{13600 \cdot 0.20 \cdot (0.16 + 0.04) \cdot (0.16 + 0.04 + \frac{0.20}{2})}}$

$\omega = \sqrt{\frac{4080}{13600 \cdot 0.20 \cdot 0.20 \cdot (0.20 + 0.10)}}$

$\omega = \sqrt{\frac{4080}{13600 \cdot 0.20 \cdot 0.20 \cdot 0.30}}$

$\omega = \sqrt{\frac{4080}{163.2}} = \sqrt{25} = 5$ рад/с

Ответ: 5 рад/с.