Номер 218, страница 47 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

218. В узкой стеклянной трубке, запаянной с одного конца и расположенной горизонтально, находится столбик воздуха длиной $l = 30$ см, запертый столбиком ртути длиной $l_0 = 20$ см. Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа. Определите, какой будет длина воздушного столбика, если трубку поставить вертикально:

а) отверстием вверх;

б) отверстием вниз (ртуть при этом из трубки не выливается).

Дано:

Длина столбика воздуха в горизонтальном положении, $l = 30$ см
Длина столбика ртути, $l_0 = 20$ см
Атмосферное давление, $p_0 = 100$ кПа
Плотность ртути (справочное значение), $\rho_{рт} = 13600$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

$l = 0.3$ м
$l_0 = 0.2$ м
$p_0 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$l_a$ - ? (длина воздушного столбика при положении трубки отверстием вверх)
$l_b$ - ? (длина воздушного столбика при положении трубки отверстием вниз)

Решение:

Процесс изменения положения трубки является медленным, поэтому температуру воздуха внутри можно считать постоянной. Это изотермический процесс, который описывается законом Бойля-Мариотта: произведение давления газа на его объем остается постоянным.

$p \cdot V = const$

Поскольку трубка имеет постоянную площадь поперечного сечения $S$, объем воздуха $V$ пропорционален его длине $l$ ($V = S \cdot l$). Таким образом, закон Бойля-Мариотта для данной задачи можно записать как:

$p \cdot l = const$, или $p_1 l_1 = p_2 l_2$

В начальном состоянии, когда трубка расположена горизонтально, давление воздуха внутри ($p_1$) равно внешнему атмосферному давлению ($p_0$), так как сила тяжести столбика ртути действует перпендикулярно оси трубки и не сжимает воздух.

$p_1 = p_0 = 10^5$ Па.

Начальная длина столбика воздуха: $l_1 = l = 0.3$ м.

Рассчитаем давление, которое создает столбик ртути высотой $l_0$:

$p_{рт} = \rho_{рт} \cdot g \cdot l_0 = 13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.2 \text{ м} = 26656 \text{ Па} \approx 26.7 \text{ кПа}$.

а) отверстием вверх

Когда трубка находится в вертикальном положении отверстием вверх, давление на запертый воздух ($p_a$) создается атмосферным давлением и давлением столбика ртути, который давит на воздух сверху.

$p_a = p_0 + p_{рт} = 100 \text{ кПа} + 26.7 \text{ кПа} = 126.7 \text{ кПа}$.

Применяем закон Бойля-Мариотта для начального и конечного состояний:

$p_1 l_1 = p_a l_a$

Отсюда находим новую длину воздушного столбика $l_a$:

$l_a = \frac{p_1 l_1}{p_a} = \frac{p_0 l}{p_0 + p_{рт}} = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 0.3 \text{ м}}{10^5 \text{ Па} + 26656 \text{ Па}} = \frac{30000}{126656} \text{ м} \approx 0.2368 \text{ м}$.

Переведем в сантиметры: $l_a \approx 23.7$ см.

Ответ: Длина воздушного столбика будет примерно 23.7 см.

б) отверстием вниз

Когда трубка находится в вертикальном положении отверстием вниз, столбик ртути под действием силы тяжести растягивает воздух. Давление воздуха внутри трубки $p_b$ вместе с давлением столбика ртути $p_{рт}$ уравновешивает внешнее атмосферное давление $p_0$.

$p_b + p_{рт} = p_0$

$p_b = p_0 - p_{рт} = 100 \text{ кПа} - 26.7 \text{ кПа} = 73.3 \text{ кПа}$.

Применяем закон Бойля-Мариотта:

$p_1 l_1 = p_b l_b$

Отсюда находим новую длину воздушного столбика $l_b$:

$l_b = \frac{p_1 l_1}{p_b} = \frac{p_0 l}{p_0 - p_{рт}} = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 0.3 \text{ м}}{10^5 \text{ Па} - 26656 \text{ Па}} = \frac{30000}{73344} \text{ м} \approx 0.4090 \text{ м}$.

Переведем в сантиметры: $l_b \approx 40.9$ см.

Ответ: Длина воздушного столбика будет примерно 40.9 см.