Номер 212, страница 46 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

212. Для измерения атмосферного давления геологи использовали тонкую трубку длиной $l = 800 \text{ мм}$. Они погрузили трубку вертикально в воду на глубину $h = 416 \text{ мм}$ и, закрыв пальцем верхнее отверстие трубки, вытащили ее из воды. При этом в трубке остался столб воды, заполняющей половину трубки. Выполнив расчеты, геологи определили атмосферное давление. Какое значение атмосферного давления они получили, если считать температуру воздуха в трубке постоянной?

Дано:

Длина трубки, $l = 800 \text{ мм}$
Глубина погружения, $h = 416 \text{ мм}$
Высота столба воды после извлечения, $h_2 = l/2$
Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м³}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с²}$
Температура воздуха, $T = \text{const}$

В системе СИ:

$l = 0,8 \text{ м}$
$h = 0,416 \text{ м}$
$h_2 = 0,8 \text{ м} / 2 = 0,4 \text{ м}$

Найти:

Атмосферное давление, $p_a$.

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха, запертого в трубке.

Состояние 1: Трубка погружена в воду на глубину $h$, и ее верхнее отверстие только что закрыли. В этот момент объем воздуха в трубке равен $V_1 = S \cdot (l - h)$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки. Поскольку до закрытия трубка сообщалась с атмосферой, давление воздуха внутри нее было равно атмосферному давлению, $p_1 = p_a$.

Состояние 2: Трубку вытащили из воды. В ней остался столб воды высотой $h_2 = l/2$. Теперь объем воздуха в трубке стал $V_2 = S \cdot (l - h_2) = S \cdot (l - l/2) = S \cdot l/2$. Давление воздуха в трубке стало $p_2$. Это давление, вместе с давлением столба воды, уравновешивается внешним атмосферным давлением. Условие равновесия: $p_a = p_2 + \rho g h_2$. Отсюда давление воздуха во втором состоянии: $p_2 = p_a - \rho g (l/2)$.

Так как по условию температура воздуха в трубке постоянна ($T = \text{const}$), процесс перехода из состояния 1 в состояние 2 является изотермическим. Для него справедлив закон Бойля-Мариотта: $p_1 V_1 = p_2 V_2$.

Подставим выражения для давлений и объемов в это уравнение: $p_a \cdot S \cdot (l - h) = (p_a - \rho g \frac{l}{2}) \cdot S \cdot \frac{l}{2}$.

Площадь $S$ сокращается. Решим уравнение относительно $p_a$: $p_a (l - h) = p_a \frac{l}{2} - \frac{\rho g l^2}{4}$
$p_a (l - h) - p_a \frac{l}{2} = - \frac{\rho g l^2}{4}$
$p_a (l - h - \frac{l}{2}) = - \frac{\rho g l^2}{4}$
$p_a (\frac{l}{2} - h) = - \frac{\rho g l^2}{4}$
$p_a (h - \frac{l}{2}) = \frac{\rho g l^2}{4}$
$p_a = \frac{\rho g l^2}{4(h - l/2)}$.

Подставим числовые значения в системе СИ: $p_a = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot (0,8 \text{ м})^2}{4(0,416 \text{ м} - 0,4 \text{ м})} = \frac{1000 \cdot 9,8 \cdot 0,64}{4 \cdot 0,016} = \frac{6272}{0,064} = 98000 \text{ Па}$.

Ответ: полученное значение атмосферного давления составляет 98000 Па (или 98 кПа).