Номер 217, страница 47 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

217. Посередине частично откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной $L = 100 \text{ см}$ находился столбик ртути длиной $l = 20 \text{ см}$. Когда трубку поставили вертикально, столбик ртути переместился вниз на $\Delta l = 10 \text{ см}$. Определите первоначальное давление воздуха в трубке, если его температура была постоянной.

Дано:

Длина трубки $L = 100$ см
Длина столбика ртути $l = 20$ см
Смещение столбика ртути $\Delta l = 10$ см
Температура $T = \text{const}$ (процесс изотермический)
Плотность ртути $\rho = 13600$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g = 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$L = 1$ м
$l = 0.2$ м
$\Delta l = 0.1$ м

Найти:

Первоначальное давление воздуха в трубке $p_0$.

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние, когда трубка расположена горизонтально. Столбик ртути находится посередине, поэтому объемы воздуха в левой и правой частях трубки одинаковы. Давление воздуха в обеих частях также одинаково и равно искомому начальному давлению $p_0$. Длина каждого столба воздуха равна:$L_1 = \frac{L - l}{2} = \frac{100 \text{ см} - 20 \text{ см}}{2} = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$Объем каждого столба воздуха $V_1 = S \cdot L_1$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки.

2. Рассмотрим конечное состояние, когда трубку поставили вертикально. Столбик ртути сместился вниз на $\Delta l$. Это означает, что объем воздуха в верхней части трубки увеличился, а в нижней — уменьшился.Длина столба воздуха в верхней части стала:$L_2 = L_1 + \Delta l = 40 \text{ см} + 10 \text{ см} = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$Длина столба воздуха в нижней части стала:$L_3 = L_1 - \Delta l = 40 \text{ см} - 10 \text{ см} = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

3. Поскольку процесс изотермический ($T = \text{const}$), для воздуха в обеих частях трубки можно применить закон Бойля-Мариотта: $p V = \text{const}$.Пусть $p_2$ и $p_3$ - давления воздуха в верхней и нижней частях трубки в вертикальном положении соответственно.Для верхней части:$p_0 V_1 = p_2 V_2 \implies p_0 S L_1 = p_2 S L_2 \implies p_2 = p_0 \frac{L_1}{L_2}$Для нижней части:$p_0 V_1 = p_3 V_3 \implies p_0 S L_1 = p_3 S L_3 \implies p_3 = p_0 \frac{L_1}{L_3}$

4. В вертикальном положении столбик ртути находится в равновесии. Это означает, что давление в нижней части трубки $p_3$ уравновешивает давление в верхней части $p_2$ и гидростатическое давление самого столбика ртути $p_{рт}$.$p_3 = p_2 + p_{рт}$Гидростатическое давление столбика ртути высотой $l$ равно:$p_{рт} = \rho g l$Подставим выражения для $p_2$ и $p_3$ в уравнение равновесия:$p_0 \frac{L_1}{L_3} = p_0 \frac{L_1}{L_2} + \rho g l$

5. Выразим из этого уравнения искомое давление $p_0$:$p_0 \left( \frac{L_1}{L_3} - \frac{L_1}{L_2} \right) = \rho g l$$p_0 L_1 \left( \frac{L_2 - L_3}{L_2 L_3} \right) = \rho g l$$p_0 = \frac{\rho g l \cdot L_2 L_3}{L_1 (L_2 - L_3)}$Заметим, что $L_2 - L_3 = (L_1 + \Delta l) - (L_1 - \Delta l) = 2 \Delta l$.Тогда формула принимает вид:$p_0 = \frac{\rho g l \cdot L_2 L_3}{2 L_1 \Delta l}$

6. Подставим числовые значения в систему СИ:$p_0 = \frac{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot (0.5 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м})}{2 \cdot 0.4 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м}}$$p_0 = \frac{26656 \text{ Па} \cdot 0.15 \text{ м}^2}{0.08 \text{ м}^2} = \frac{3998.4}{0.08} \text{ Па} = 49980 \text{ Па}$Округляя, получаем $p_0 \approx 50$ кПа.

Ответ: первоначальное давление воздуха в трубке равно $49980$ Па (или примерно $50$ кПа).