Номер 216, страница 47 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

216. В запаянной с одного конца стеклянной вертикально расположенной трубке находится столбик воздуха, запертый столбиком ртути высотой $h_1 = 20 \text{ см}$, доходящей до верхнего края трубки. Трубку медленно переворачивают вверх дном, при этом часть ртути выливается, и в трубке остается столбик ртути высотой $h_2 = 3,5 \text{ см}$. Определите длину трубки, если атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$.

Дано:

$h_1 = 20 \text{ см}$

$h_2 = 3.5 \text{ см}$

$p_0 = 100 \text{ кПа}$

Перевод в СИ:

$h_1 = 0.2 \text{ м}$

$h_2 = 0.035 \text{ м}$

$p_0 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Плотность ртути: $\rho \approx 13600 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$L$ — длина трубки.

Решение:

Поскольку трубку переворачивают медленно, процесс можно считать изотермическим. Для воздуха, запертого в трубке, выполняется закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ — начальные давление и объем воздуха, а $p_2$ и $V_2$ — конечные.

Рассмотрим начальное состояние (трубка открытым концом вверх).

Давление воздуха $p_1$ равно сумме атмосферного давления $p_0$ и гидростатического давления столбика ртути высотой $h_1$:

$p_1 = p_0 + \rho g h_1$

Пусть $L$ — полная длина трубки, а $S$ — площадь ее поперечного сечения. Тогда длина столбика воздуха $l_1 = L - h_1$, а его объем $V_1 = S \cdot l_1 = S(L - h_1)$.

Рассмотрим конечное состояние (трубка открытым концом вниз).

Давление воздуха $p_2$ меньше атмосферного на величину гидростатического давления столбика ртути высотой $h_2$:

$p_2 = p_0 - \rho g h_2$

Длина столбика воздуха $l_2 = L - h_2$, а его объем $V_2 = S \cdot l_2 = S(L - h_2)$.

Подставим выражения для давлений и объемов в закон Бойля-Мариотта:

$(p_0 + \rho g h_1) \cdot S(L - h_1) = (p_0 - \rho g h_2) \cdot S(L - h_2)$

Площадь сечения $S$ сокращается:

$(p_0 + \rho g h_1)(L - h_1) = (p_0 - \rho g h_2)(L - h_2)$

Для удобства вычислений выразим атмосферное давление $p_0$ через высоту эквивалентного столба ртути $H_0$:

$p_0 = \rho g H_0$

$H_0 = \frac{p_0}{\rho g} = \frac{10^5 \text{ Па}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx 0.75 \text{ м} = 75 \text{ см}$

Теперь уравнение можно переписать, подставив $\rho g H_0$ вместо $p_0$ и сократив общий множитель $\rho g$:

$(\rho g H_0 + \rho g h_1)(L - h_1) = (\rho g H_0 - \rho g h_2)(L - h_2)$

$(H_0 + h_1)(L - h_1) = (H_0 - h_2)(L - h_2)$

Подставим числовые значения в сантиметрах:

$(75 + 20)(L - 20) = (75 - 3.5)(L - 3.5)$

$95(L - 20) = 71.5(L - 3.5)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $L$:

$95L - 95 \cdot 20 = 71.5L - 71.5 \cdot 3.5$

$95L - 1900 = 71.5L - 250.25$

$95L - 71.5L = 1900 - 250.25$

$23.5L = 1649.75$

$L = \frac{1649.75}{23.5} \approx 70.2 \text{ см}$

Ответ: Длина трубки составляет приблизительно $70.2 \text{ см}$.