Номер 209, страница 45 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

209. Для определения объема твердого вещества сыпучих материалов применяют закон Бойля — Мариотта. Для этого сыпучий материал засыпают в цилиндр, герметически закрывают его и измеряют давление воздуха внутри цилиндра при двух положениях поршня. Получите формулу для определения объема твердого вещества сыпучего материала, если при объеме $V_1$ и $V_2$ содержимого цилиндра давление воздуха в нем $p_1$ и $p_2$ $(p_2 > p_1)$ соответственно. Температуру воздуха считать постоянной.

Дано:

$V_1$ – объем содержимого цилиндра в первом состоянии.

$p_1$ – давление воздуха в цилиндре в первом состоянии.

$V_2$ – объем содержимого цилиндра во втором состоянии.

$p_2$ – давление воздуха в цилиндре во втором состоянии.

$T = const$ (температура воздуха постоянна).

Найти:

$V_x$ – объем твердого вещества сыпучего материала.

Решение:

Обозначим искомый объем твердого вещества сыпучего материала как $V_x$. Этот объем остается постоянным в ходе эксперимента.

Объем, занимаемый воздухом в цилиндре, равен общему объему цилиндра за вычетом объема твердого вещества.

В первом состоянии объем, занимаемый воздухом, равен:

$V_{воздуха,1} = V_1 - V_x$

Во втором состоянии объем, занимаемый воздухом, равен:

$V_{воздуха,2} = V_2 - V_x$

Поскольку цилиндр герметично закрыт, масса воздуха в нем не изменяется. По условию, температура воздуха также считается постоянной. Следовательно, для воздуха в цилиндре можно применить закон Бойля — Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная ($p V = const$).

Запишем закон Бойля — Мариотта для двух состояний воздуха в цилиндре:

$p_1 V_{воздуха,1} = p_2 V_{воздуха,2}$

Подставим выражения для объемов воздуха:

$p_1 (V_1 - V_x) = p_2 (V_2 - V_x)$

Раскроем скобки, чтобы выразить искомый объем $V_x$:

$p_1 V_1 - p_1 V_x = p_2 V_2 - p_2 V_x$

Сгруппируем члены, содержащие $V_x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$p_2 V_x - p_1 V_x = p_2 V_2 - p_1 V_1$

Вынесем $V_x$ за скобки:

$V_x (p_2 - p_1) = p_2 V_2 - p_1 V_1$

Отсюда находим формулу для объема твердого вещества:

$V_x = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{p_2 - p_1}$

Ответ: $V_x = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{p_2 - p_1}$